Question

cos 2a-cos 4а 1. Докажите, что tg3atga cos 2a+cos 4а 2. Представьте в виде суммы или разности выражение: 2cos(x + 2) cos(x — 2) 3. Упростите выражение: а) : ( + 1-sin a 1+cos a. 1+tg? а б) (1 - cos 2а)tg(п – а) 1 Cosa COS a -​

Answer 1

Ответ:

1. Смотрите доказательство в разделе "Объяснение:"

2. $\boxed{2\cos(x + 2) \cos(x - 2) = \cos 2x + \cos 4}$

3.

а)

$\boxed{ \bigg (\dfrac{\cos \alpha }{1 - \sin \alpha } + \dfrac{\cos \alpha }{1 + \sin \alpha } \bigg)\cdot \dfrac{1}{1 + tg^{2} \alpha } = 2 \cos \alpha }$

б)

$\boxed{\rm (1 - \cos 2\alpha )\ tg(\pi - \alpha ) = -2 \sin^{2} \alpha \ tg \ \alpha}$

Формулы:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \bigg (\dfrac{\alpha + \beta }{2} \bigg) \cos \bigg (\dfrac{\alpha - \beta }{2} \bigg)$

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \bigg (\dfrac{\alpha + \beta }{2} \bigg) \sin \bigg (\dfrac{\alpha - \beta }{2} \bigg)$

$\rm tg \ \alpha = \dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

$\cos \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2} \bigg (\cos(\alpha - \beta ) + \cos(\alpha + \beta ) \bigg)$

$\rm 1 + tg^{2}\alpha = \dfrac{1}{\cos^{2} \alpha }$

$\sin^{2} + \cos^{2} \alpha = 1$

$\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^{2} \alpha$

$\rm tg(\pi - \alpha ) = -tg \ \alpha$

$(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$

Объяснение:

1. Доказать:

$\rm \dfrac{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha }{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = tg \ 3\alpha \ tg \ \alpha$

а)

$\cos 2\alpha - \cos 4\alpha = - 2 \sin \bigg(\dfrac{2\alpha +4 \alpha }{2} \bigg ) \sin \bigg (\dfrac{2\alpha - 4\alpha }{2} \bigg ) = - 2 \sin \bigg(\dfrac{6 \alpha }{2} \bigg ) \sin \bigg ( \dfrac{-2\alpha }{2} \bigg )=$

$= -1 \cdot (-1) \cdot 2\sin \bigg (\dfrac{6\alpha }{2} \bigg ) \sin \bigg(\dfrac{2\alpha }{2} \bigg) = 2\sin 3\alpha \sin \alpha$

б)

$\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 2 \cos \bigg(\dfrac{2\alpha + 4\alpha }{2} \bigg)\cos \bigg(\dfrac{2\alpha - 4\alpha}{2} \bigg) = 2 \cos \bigg(\dfrac{6\alpha }{2} \bigg)\cos \bigg(\dfrac{-2\alpha }{2} \bigg)=$

$= 2 \cos \bigg(\dfrac{6\alpha }{2} \bigg)\cos \bigg(\dfrac{2\alpha }{2} \bigg)= 2 \cos 3\alpha \cos \alpha$

в)

$\rm \dfrac{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha }{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \dfrac{2\sin 3\alpha \sin \alpha}{2 \cos 3\alpha \cos \alpha} = \dfrac{\sin 3\alpha \sin \alpha}{ \cos 3\alpha \cos \alpha} = tg \ 3\alpha \ tg \ \alpha$

Ч.Т.Д

2.

$2\cos(x + 2) \cos(x - 2) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} (\cos(x + 2 - (x - 2)) + \cos(x + 2 + x - 2)) =$

$= (\cos(x + 2 - x + 2) + \cos(x + 2 + x - 2)) = \cos 2x + \cos 4$

3.

а)

$\bigg (\dfrac{\cos \alpha }{1 - \sin \alpha } + \dfrac{\cos \alpha }{1 + \sin \alpha } \bigg)\cdot \dfrac{1}{1 + tg^{2} \alpha } = \dfrac{1}{ \dfrac{1}{\cos^{2} \alpha } } \bigg (\dfrac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha) + \cos \alpha (1 - \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} \bigg)=$

$= \cos^{2} \alpha \bigg(\dfrac{ \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha }{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} \bigg) = \cos^{2} \alpha \bigg(\dfrac{2 \cos \alpha }{1 - \sin^{2} \alpha } \bigg) =$

$= \cos^{2} \alpha \bigg(\dfrac{2 \cos \alpha }{\cos^{2} \alpha } \bigg) = \dfrac{\cos^{2} \alpha}{1} \cdot \dfrac{2 \cos \alpha }{\cos^{2} \alpha } = 2 \cos \alpha$

б)

$\rm (1 - \cos 2\alpha )\ tg(\pi - \alpha ) = -tg \ \alpha (1 - \cos 2\alpha ) = tg \ \alpha ( \cos 2\alpha - 1)=$

$= \rm tg \ \alpha ( 1 - 2 \sin^{2} \alpha - 1)= -2 \sin^{2} \alpha \ tg \ \alpha$