Question

Задание 2. Решите системы уравнений методом домножения и сложения: а) Skrinshot 11-10-2021 220414.png Skrinshot 11-10-2021 220456.png ​

Answer 1

Ответ:

а) $\begin{cases} x = -\frac{2}{3} \\ y = 5} \end{cases}$

б) $\begin{cases} a = 2 \\ b = 1} \end{cases}$ ;    $\begin{cases} a = 2 \\ b = -1} \end{cases}$

Решение:

а)

$\begin{cases} 3x+2y = 8 \\ 15x + 3y = 5} \end{cases}$

Домножим обе части первого уравнения на -5, чтобы получить одночлен, противоположный одночлену 15x из второго уравнения.

$\begin{cases} -15x-10y = -40 \\ 15x + 3y = 5} \end{cases}$

А теперь применим метод сложения: сложим отдельно левые и правые части уравнений, чтобы противоположные одночлены уничтожились и мы получили уравнение с одной переменной.

-15x - 10y + 15x + 3y = -40 + 5

-10y + 3y = -40 + 5

-7y = -35

y = -35 : (-7)

y = 5

Подставим полученное значение в первое уравнение системы:

3x + 2 · 5 = 8

3x + 10 = 8

3x = 8 - 10

3x = -2

x = $\displaystyle -\frac{2}{3}$

Запишем решение системы:

$\begin{cases} x = -\frac{2}{3} \\ y = 5} \end{cases}$

б)

$\begin{cases} a^2+2b^2 = 6 \\ b^2 - 2a = -3} \end{cases}$

Домножим обе части второго уравнения на -2, чтобы получить одночлен, противоположный одночлену 2b² из первого уравнения.

$\begin{cases} a^2+2b^2 = 6 \\ -2b^2 +4a = 6} \end{cases}$

Применим метод сложения:

a² + 2b² - 2b² + 4a = 6 + 6

a² + 4a - 6 - 6 = 0

a² + 4a - 12 = 0 — квадратное уравнение.

Так как оно приведенное (a = 1), то можем решить его с помощью теоремы Виета.

Согласно ей, корнями уравнения будут числа, сумма которых противоположна коэффициенту b, а произведение равно коэффициенту c.

a₁ + a₂ = -4

a₁ · a₂ = -12

Эти условия будут выполняться, если a₁ = -6; a₂ = 2.

Теперь подставим полученные числа во второе уравнение системы и найдем соответствующие значения переменной b.

b² - 2 · (-6) = -3

b² + 12 = -3

b² = -3 - 12

b² = -15

Результат возведения числа в квадрат не может быть отрицательным, поэтому действительных корней нет.

b² - 2 · 2 = -3

b² - 4 = -3

b² = -3 + 4

b² = 1

$b = \±\sqrt{1}$

b = ± 1

Значит, система имеет два решения:

$\begin{cases} a = 2 \\ b = 1} \end{cases}$  ;

$\begin{cases} a = 2 \\ b = -1} \end{cases}$