Ответы
Ответ:
x² + y² = 16 - уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат, и прямая 3x - 4y + 20 = 0 является касательной к этой окружности.
Пошаговое объяснение:
Уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат имеет вид:
x² + y² = R², где R - радиус окружности.
Исходя из этого, вариант 4) x² - y² = 16 - не является уравнением окружности.
Из условия, прямая 3x - 4y + 20 = 0 является касательной к данной окружности, то есть они имеют одну общую точку.
Из данного уравнения прямой выразим у через х:
3x - 4y + 20 = 0
-4y = - 3x - 20 | :(-4)
y = 0,75x - 5
И подставим полученное значение у в предложенные уравнения окружностей.
1) x² + y² = 16
x² + (0,75x - 5)² = 16
x² + 0,5625x² - 7,5x + 25 - 16 = 0
1,5625x² - 7,5x + 9 = 0
D = b² - 4ac = 7,5² - 4 · 1,5625 · 9 = 56,25 - 56,25 = 0
Уравнение будет иметь одно решение. То есть прямая и окружность будут иметь лишь одну общую точку. Значит прямая 3x - 4y + 20 = 0 является касательной к окружности x² + y² = 16.
Покажем, что оставшиеся варианты не подходят.
2) x² + y² = 8
x² + (0,75x - 5)² = 8
x² + 0,5625x² - 7,5x + 25 - 8 = 0
1,5625x² - 7,5x + 17 = 0
D = b² - 4ac = 7,5² - 4 · 1,5625 · 17 = 56,25 - 106,25 = - 50 < 0
Уравнение корней не имеет, значит прямая и окружность не имеют общих точек.
3) x² + y² = 9
x² + (0,75x - 5)² = 9
x² + 0,5625x² - 7,5x + 25 - 9 = 0
1,5625x² - 7,5x + 16 = 0
D = b² - 4ac = 7,5² - 4 · 1,5625 · 16 = 56,25 - 100 = - 43,75 < 0
Уравнение корней не имеет, значит прямая и окружность не имеют общих точек.