Question

Кегли для боулинга ставят в форме треугольника, в первом ряду 1, во втором 2, в третьем
3 и т.д. В ряду n должно быть n кеглей. Однако, чтобы это было возможно сделать ровно с
кеглями в наборе, надо либо добавить ещё 3 кегли, либо убрать 40 кеглей. Чему равна сумма
всех возможных количеств кеглей, которые есть в наборе?

Answer 1

Ответ:

1193 кегли

Пошаговое объяснение:

Расстановку кеглей можно представить в виде арифметической прогрессии, где 1 ряд это 1 кегля:

$a_1=1$

а каждый последующий ряд - последующий член этой прогрессии, который на 1 больше предыдущего:

$a_2=a_1 + 1 = 2 \\ a_3 = a_2 + 1 = 3 \\ ...$

т.е. это арифметическая прогрессия вида

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

где

$a_1=1;\: d=1$

что равносильно

$a_{n} =a_{1} + (n - 1) \cdot1 = 1 + (n - 1) \\ a_{n} = n$

Тогда сумма кегель в наборе - это сумма всех членов прогрессии Sn

$S_n = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot{n}$

Разберемся с набором: Для построения надо

• либо добавить ещё 3 кегли,

• либо убрать 40 кеглей.

Очевидно, что у нас есть один недостроенный ряд. Пусть это будет ряд n. И в достроенном этом ряду было бы ровно n кеглей. Но 3 не хватает.

Логично, что мы можем либо достроить ряд кеглей(+3), либо "смахнуть" весь недостроенный ряд(-40) кеглей

А значит у нас есть недостроенный ряд из 40 кеглей, в котором не хватает 3 шт.

То есть целиком заполненный n -й ряд должен содержать кеглей:

$n \: = 40 + 3 = 43$

А значит кегель в наборе должно быть без трех штук Sn, где n = 43. Обохначим число кеглей в наборе за х

$x = S_{43} - 3 \\ x = \frac{a_{1 + }a_{43}}{2} {\cdot}43 - 3\\ x = \frac{1 + 43}{2} {\cdot43} - 3 = 22{\cdot43} - 3 \\ x = 946 - 3 = 943$

Теоретически возможен вариант, когда 43 - это количество кеглей в 2-х, 3-х...k-x и пр. рядах.

Тогда, если "недостроенный" ряд также обозначим n, получаем:

• 43 кеглей в 2 рядах (последний ряд n кегдей, предпоследний - n-1)

$(n-1)+n = 43 \\ 2n = 44 \\ n = 22$

Обозначим число кегдей в таком варианте как y. ,И тогда кегде может быть

$y = S_{22} - 3 \\ y = \frac{a_{1 + }a_{22}}{2} {\cdot}22 - 3\\ y= \frac{1 + 22}{2} {\cdot22} - 3 = 23{\cdot11} - 3 \\ y= 253 - 3 = 250$

Больше рядов, таких, чтобы k конечных рядов составляло в сумме 43 кеглей - нет

Получаем 2 варианта набора кегель:

x = 943

y = 250

Их сумма составит:

$x+y = 943+250=1193$

Отсюда и ответ:

1193 кеглей