Question

Дан ромб ABCD. Известно что высота BH =4 см и точка H середина стороны AD. Найдите площадь ромба.
(с рисунком)​

Answer 1

Ответ:

• $\displaystyle \boldsymbol{S_{ABCD}}=\boldsymbol{\frac{32\sqrt{3} }{3} \; {\rm cm^2}}$

Объяснение:

Т.к. ABCD - ромб, то AB=BC=CD=AD.

• Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.

ΔBHA - прямоугольный, т.к. BH - высота.

По условию, $\displaystyle AH=HD=\frac{AD}{2}$, значит, $\displaystyle AH=\frac{AB}{2}$, следовательно, ∠ABH=30°.

• Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

∠ABH+∠BAH=90°, откуда ∠BAH=90°-∠ABH=90°-30°=60°.

• Синус угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle \sin\angle BAH=\frac{BH}{AB}$, откуда $\displaystyle \boldsymbol {AB}=\frac{BH}{\sin\angle BAH} =\frac{4}{\sin 60^\circ} =\frac{4}{\frac{\sqrt{3} }{2} } =\boldsymbol{\frac{8}{\sqrt{3} } \;{\rm cm}}$.

Ромб - частный случай параллелограмма, тогда $\displaystyle \boldsymbol{S_{ABCD}}=BH\cdot AD=BH\cdot AB=4\cdot \frac{8}{\sqrt{3} } =\frac{32}{\sqrt{3} } =\boldsymbol{\frac{32\sqrt{3} }{3} \; {\rm cm^2}}$