Question

Найди сумму всех натуральных чисел, которые делятся на 14 и имеют ровно
делителей, считая и само число.
(В ответ запиши только число без пробелов.)

Answer 1

Ответ: $126$

Объяснение:

Предположим, что в таких натуральных числах есть 3 и более простых делителей, пусть данные простые делители равны $p_{1}, p_{2}, p_{3}$.

Тогда из комбинаторных соображений из данных трех простых делителей можно составить:

$(1+1)^3 = 8$ различных делителей, то есть в таком числе не менее $8$ делителей, а у нас только $6$. Таким образом, в нашем числе не более двух простых делителей. Также стоит заметить, что число $14$ является составным, а значит в наших числах должно быть хотя бы два простых делителя. Как видим, нам нужны числа удовлетворяющие равенству:

$n = p_{1} ^a * p_{2} ^b\\a\geq b$

$p_{1}, p_{2}$ - простые натуральные числа.

$a,b$ - произвольные натуральные числа.

Откуда из комбинаторных соображений количество делителей удовлетворяет следующему равенству:

$N_{d} = (a+1)(b+1) \\(a+1)(b+1) = 6$

Учитывая, что каждый из множителей в левой части уравнения не менее двух и $a \geq b$, то остается единственный вариант:

$a+1 = 3\\b+1 = 2\\a = 2\\b = 1\\n = p_{1}^2 * p_{2}$

Поскольку $n$ кратно  $14 = 7*2$, то для $n$ возможно два варианта:

$n_{1} = 7^2 * 2 = 49*2 = 98\\n_{2} = 2^2 * 7 = 4*7 = 28\\n_{1} + n_{2} = 98 + 28 = 126$