Question

Решить уравнение: $\tt \sin^{-1} 2x\sqrt{tg^2x+ctg^2x+2}+ctg2x\sqrt{tg^2x+ctg^2x-2}=4\cos^22x.$

Answer 1

$\sin^{-1}2x\sqrt{\mathrm{tg}\,^2x+\mathrm{ctg}\,^2x+2} +\mathrm{ctg}\,2x\sqrt{\mathrm{tg}\,^2x+\mathrm{ctg}\,^2x-2}=4\cos^22x$

Отметим ОДЗ. Для существования тангенса необходимо потребовать условие $\cos x\neq 0$. Для существования котангенса - условие $\sin x\neq 0$. Для существования выражений $\sin^{-1}2x$ и $\mathrm{ctg}\,2x$ необходимо потребовать условие $\sin 2x\neq 0$, которое сводится к двум предыдущим. Выражение под первым корнем, очевидно, неотрицательно, неотрицательность второго выражения попробуем показать далее.

Преобразуем выражения под знаками корня:

$\mathrm{tg}\,^2x+\mathrm{ctg}\,^2x+2=\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}+ \dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}+ 2=$

$=\dfrac{\sin^4x+\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x} =\dfrac{(\sin^2x+\cos^2x)^2}{\sin^2x\cos^2x} =\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}$

$\mathrm{tg}\,^2x+\mathrm{ctg}\,^2x-2=\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}+ \dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}- 2=$

$=\dfrac{\sin^4x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x} =\dfrac{(\sin^2x-\cos^2x)^2}{\sin^2x\cos^2x}$

Теперь очевидно, что выражение под вторым корнем также  неотрицательно.

Используя преобразования, получим:

$\dfrac{1}{\sin2x} \sqrt{\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}} +\mathrm{ctg}\,2x\sqrt{\dfrac{(\sin^2x-\cos^2x)^2}{\sin^2x\cos^2x}}=4\cos^22x$

Извлекая корень из квадрата, получим модуль:

$\dfrac{1}{\sin2x} \left|\dfrac{1}{\sin x\cos x}\right| +\mathrm{ctg}\,2x\left|\dfrac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin x\cos x}\right|=4\cos^22x$

Преобразуем по формулам синуса и косинуса двойного угла:

$\dfrac{1}{\sin2x} \left|\dfrac{2}{2\sin x\cos x}\right| +\mathrm{ctg}\,2x\left|\dfrac{-2(\cos^2x-\sin^2x)}{2\sin x\cos x}\right|=4\cos^22x$

$\dfrac{1}{\sin2x} \left|\dfrac{2}{\sin 2x}\right| +\mathrm{ctg}\,2x\left|\dfrac{2\cos2x}{\sin 2x}\right|=4\cos^22x$

$\dfrac{1}{\sin2x} \left|\dfrac{1}{\sin 2x}\right| +\dfrac{\cos2x}{\sin 2x}\left|\dfrac{\cos2x}{\sin 2x}\right|=2\cos^22x$

$\dfrac{1+\cos2x|\cos2x|}{\sin 2x|\sin 2x|}=2\cos^22x$

Раскрываем модуль.

1 случай) $\sin2x > 0;\ \cos2x > 0$

$\dfrac{1+\cos^22x}{\sin ^22x}=2\cos^22x$

$1+\cos^22x=2\cos^22x\sin ^22x$

$1+\cos^22x=2\cos^22x(1-\cos^22x)$

$1+\cos^22x=2\cos^22x-2\cos^42x$

$2\cos^42x-\cos^22x+1=0$

$D=(-1)^2-4\cdot2\cdot1 < 0$

Корней в данном случае нет.

2 случай) $\sin2x > 0;\ \cos2x < 0$

$\dfrac{1-\cos^22x}{\sin ^22x}=2\cos^22x$

$1-\cos^22x=2\cos^22x\sin ^22x$

$1-\cos^22x=2\cos^22x(1-\cos^22x)$

$1-\cos^22x=2\cos^22x-2\cos^42x$

$2\cos^42x-3\cos^22x+1=0$

По свойствам коэффициентов корни равны 1 и 1/2.

$\cos^22x=1\Rightarrow \cos2x=\pm1\Rightarrow 2x=\pi n\Rightarrow x=\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Но полученные в этой ситуации корни противоречат ОДЗ.

$\cos^22x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos2x=\pm\dfrac{\sqrt{2} }{2} \Rightarrow 2x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

На этом шаге удобно выполнить отбор, так как условие при раскрытии модуля задано для "2х".

Заметим, что графически решение $2x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}$ распадается на серию из 4 точек:

$2x_1=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ 2x_2=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k;\ 2x_3=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k;\ 2x_4=\dfrac{7\pi}{4}+2\pi k$

расположенных в 1, 2, 3, 4 четвертях соответственно. Условию раскрытия модуля удовлетворяют точки второй четверти, поэтому:

$2x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

3 случай) $\sin2x < 0;\ \cos2x > 0$

$\dfrac{-1+\cos^22x}{\sin ^22x}=2\cos^22x$

$-1+\cos^22x=2\cos^22x\sin ^22x$

$-1+\cos^22x=2\cos^22x(1-\cos^22x)$

$-1+\cos^22x=2\cos^22x-2\cos^42x$

$2\cos^42x-\cos^22x-1=0$

По свойствам коэффициентов корни равны 1 и -1/2.

Уравнение $\cos^22x=1$ мы решали на предыдущем шаге и корней, удовлетворяющих ОДЗ оно не дало. Уравнение $\cos^22x=-\dfrac{1}{2}$ решений не имеет из-за неотрицательности левой части.

4 случай) $\sin2x < 0;\ \cos2x < 0$

$\dfrac{-1-\cos^22x}{\sin ^22x}=2\cos^22x$

$-1-\cos^22x=2\cos^22x\sin ^22x$

$-1-\cos^22x=2\cos^22x(1-\cos^22x)$

$-1-\cos^22x=2\cos^22x-2\cos^42x$

$2\cos^42x-3\cos^22x-1=0$

$D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-1)=17$

$\cos^22x=\dfrac{3\pm\sqrt{17} }{4}$

Воспользовавшись оценками:

$\dfrac{3-\sqrt{17} }{4}=\dfrac{\sqrt{9} -\sqrt{17} }{4} < 0$

$\dfrac{3+\sqrt{17} }{4} > \dfrac{3+\sqrt{16} }{4}=\dfrac{7}{4} > 1$

понятно, что квадрат косинуса не может принимать отрицательных значений или значений, больше 1.

Таким образом, единственная серия корней:

$\boxed{x=\dfrac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$