Ответы
Отметим ОДЗ. Для существования тангенса необходимо потребовать условие . Для существования котангенса - условие
. Для существования выражений
и
необходимо потребовать условие
, которое сводится к двум предыдущим. Выражение под первым корнем, очевидно, неотрицательно, неотрицательность второго выражения попробуем показать далее.
Преобразуем выражения под знаками корня:
Теперь очевидно, что выражение под вторым корнем также неотрицательно.
Используя преобразования, получим:
Извлекая корень из квадрата, получим модуль:
Преобразуем по формулам синуса и косинуса двойного угла:
Раскрываем модуль.
1 случай)
Корней в данном случае нет.
2 случай)
По свойствам коэффициентов корни равны 1 и 1/2.
Но полученные в этой ситуации корни противоречат ОДЗ.
На этом шаге удобно выполнить отбор, так как условие при раскрытии модуля задано для "2х".
Заметим, что графически решение распадается на серию из 4 точек:
расположенных в 1, 2, 3, 4 четвертях соответственно. Условию раскрытия модуля удовлетворяют точки второй четверти, поэтому:
3 случай)
По свойствам коэффициентов корни равны 1 и -1/2.
Уравнение мы решали на предыдущем шаге и корней, удовлетворяющих ОДЗ оно не дало. Уравнение
решений не имеет из-за неотрицательности левой части.
4 случай)
Воспользовавшись оценками:
понятно, что квадрат косинуса не может принимать отрицательных значений или значений, больше 1.
Таким образом, единственная серия корней: