Question

на карте, масштаб которой 1:2 000 000 расстояние между пунктами А и В равно 5√3 а расстояние между пунктами А и С равно 5 см. Найдите расстояние между В и С на местности, если на карте угол АСВ=120°


Дескрипторы:
-выполнить чертеж
-составить уравнение, используя теорему косинусов
-решить квадратное уравнение
-составить пропорцию используя определение масштаба
-найти расстояние на карте
-перевести в более крупные единицы измерения
-найти расстояние на местности​

Answer 1

1)  Масштаб  1 : 2 000 000 означает, что

                    1 см = 2 000 000  см

                    1 см = 20 000 м

                    1 см = 20 км

2) Рассмотрим ΔАВС, в нем:

                                 АВ = 5√3 см

                                 АС = 5 см

                                ∠АСВ = 120°

           Пусть ВС = х, тогда, применяя теорему косинусов, получаем:

           АВ² = АС² + ВС² - 2 · АВ · ВС · cos∠ACB  

           (5√3)² = 5² + x² - 2·5·x·cos120°  

    Знаем, что cos120°  = - 0,5, получаем:

           75 = 25+x²-10x·(-0,5)

           25+x²+5x-75=0

         x² + 5x-50 = 0    решаем полученное квадратное уравнение.

D=25-4 · 1 · (-50) = 25+200 = 225 = 15²

x₁ = $\frac{-5-15}{2} = -10 < 0$

x₂  = $\frac{-5+15}{2} = 5 > 0$

            ВС = 5 см  - расстояние на карте.

3)  На основании соотношений:

               1 см   -    20 км

               5 см   -    х км

    Получаем пропорцию:

            1 : 20 = 5 : х    ( можно записать и так   $\frac{1}{20} =\frac{5}{x}$  )

Решаем:

               x = 20 · 5 : 1

               x =  100 км  - расстояние на местности​

Ответ: 100 км