Question

#5 Найдите натуральное число n, пусть здесь
(см. фото)
варианты: 38; 39; 40; 4​

Answer 1

Ответ:

$\boxed{n = 40}$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \sqrt{\frac{3}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot\frac{7}{5} \ldots \cdot \frac{2n + 1}{2n - 1} } = 9 \ ; n \in \mathbb N$

Пусть $a_{n}$ последовательность вида:

$\displaystyle a_{n} = \frac{3}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot\frac{7}{5} \ldots \cdot \frac{2n + 1}{2n - 1}$

Пусть $P_{n}$ произведение первых $n$ элементов последовательности:

$P_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \ldots \cdot a_{n}$

Попробуем найти закономерность в последовательности $a_{n}$, чтобы получить формулу для нахождения $P_{n}$ только по индексу $n$ без нахождения все элементов от $a_{1}$ до $a_{n}$.

$P_{1} = a_{1} = \dfrac{3}{1}$

$\displaystyle P_{2} = a_{1} \cdot a_{2} = \frac{3}{1} \cdot \frac{5}{3} = 5$

$\displaystyle P_{3} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} = \frac{3}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot\frac{7}{5} = 7$

Таким образом можно сделать гипотезу, что $P_{n} = 2n + 1$

Докажем эту гипотезу с помощью метода математической индукции:

$a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \ldots \cdot a_{n} = P_{n}$

$\displaystyle\frac{3}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot\frac{7}{5} \ldots \cdot \frac{2n + 1}{2n - 1} = 2n + 1$

$n = 1: \ \ \dfrac{3}{1} = 3 = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$

$n = k: \ \ \displaystyle\frac{3}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot\frac{7}{5} \ldots \cdot \frac{2k + 1}{2k - 1} = 2k + 1$

$n = k + 1: \ \ \displaystyle \underbrace{ \frac{3}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot\frac{7}{5} \ldots \cdot \frac{2k + 1}{2k - 1}}_{2k + 1} \cdot \dfrac{2(k + 1) + 1}{2( k+ 1) - 1} = 2(k + 1) + 1$

$(2k + 1)\cdot\dfrac{2(k + 1) + 1}{2( k+ 1) - 1} = 2(k + 1) + 1$

$(2k + 1) \cdot \dfrac{2k + 2 + 1}{2k+ 2 - 1} = 2k + 2 + 1$

$(2k + 1 )\cdot\dfrac{2k + 3}{2k+ 1} = 2k + 3$

$2k + 3 = 2k + 3$

Следовательно методом математической индукции доказано, что:

$\displaystyle\frac{3}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot\frac{7}{5} \ldots \cdot \frac{2n + 1}{2n - 1} = 2n + 1$

$\displaystyle \sqrt{\frac{3}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot\frac{7}{5} \ldots \cdot \frac{2n + 1}{2n - 1} } = 9$

$\sqrt{2n + 1} = 9$

ОДЗ:

$2n + 1 \geq 0$

$2n \geq -1|:2$

$n \geq -0,5$

Так как $n \in \mathbb N$, то наименьшее $n = 1$ следовательно ОДЗ выполняется для любых $n$.

$(\sqrt{2n + 1})^{2} = 9^{2}$

$2n + 1 = 81| -1$

$2n = 80|:2$

$n = 40$