Question

Вычислить n-ю степень некоторого комплексного числа z=2-i где n=5

Answer 1

Ответ:

z⁵ = -38 - 41i.

Объяснение:

Дано комплексное число z = 2-i. Нужно возвести его в пятую степень.

Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона:

$\displaystyle (a+b)^n = a^n + C^1_na^{n-1}b+C^2_na^{n-2}b^2+...+C^{n-1}_nab^{n-1}+b^n$

Числа $C^k_n$ называются биноминальными коэффициентами и вычисляются таким образом:

$\displaystyle C^k_n =\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}$.

Восклицательным знаком обозначается факториал числа:

k! = 1 · 2 · 3 ... · k.

Таким образом,

$\displaystyle (a-b)^5 = a^5 +\frac{5}{1!} a^4(-b)+\frac{5\cdot 4}{2!} a^3(-b)^2 + \frac{5\cdot 4 \cdot 3}{3!} a^2(-b)^3 + \frac{5\cdot 4 \cdot 3\cdot 2}{4!} a(-b)^4 +\\ \\ (-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 -10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5.$

Воспользуемся этой формулой, чтобы возвести данное комплексное число в пятую степень.

   !! При этом нужно учитывать, что квадрат мнимой единицы равен

    -1 ($i^2 = -1$).

$z^5 = (2-i)^5 = 2^5 - 5\cdot 2^4\cdot i + 10\cdot 2^3 \cdot i^2 -10 \cdot 2 ^2 \cdot i^3 + 5 \cdot 2 \cdot i^4 - i^5 = \\ \\ = 32 - 80i + 80i^2 - 40i^3 + 10i^4 - i^5$

  ______________________

  * Выполним промежуточные вычисления:

   $i^3 = i \cdot i ^2 = i \cdot (-1) = -i\\\\i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1\\\\i^5 = i\cdot i^4 = i \cdot 1 = i$

   ______________________

$32 - 80i + 80i^2 - 40i^3 + 10i^4 - i^5 = 32 - 80i + 80 \cdot (-1) - 40 \cdot (-i) + 10 \cdot 1 - i = \\\\=32 -80i -80 +40i + 10 -i = -38-41i.$

Таким образом,

$z^5 = (2-i)^5 = - 38 -41i$.