Question

Высота треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла С к гипотенузе АВ, делит ее на отрезки 1 см и 9 см. Найдите высоту и катеты АС и ВС.
ДОЮ 60 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

ΔАВС , ∠С=90° ,  СН ⊥ АВ  ,  АН=1 см , ВН=9 см .  Найти  СН , АС , ВС .

Так как высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, то   $CH=\sqrt{AH\cdot BH}$ , где АН - проекция катета АВ на гипотенузу АВ , ВН - проекция катета ВС на гипотенузу АВ .

$CH=\sqrt{1\cdot 9}=3$  (см)

Рассмотрим ΔАСН.  ∠АНС=90° , тогда по теореме Пифагора

$AC^2=AH^2+CH^2=1^2+3^2=10\ \ ,\ \ AC=\sqrt{10}$   (cм)

Рассмотрим ΔВСН.  ∠ВНС=90° , тогда по теореме Пифагора

$BC^2=BH^2+CH^2=9^2+3^2=90\ \ ,\ \ BC=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$   (cм)

Ответ:   CН=3 см . АС= $\sqrt{10}$ см , ВС= $3\sqrt{10}$ см .