Отрезки AB и A1B1 имеют общую середину О. Докажите, что:
а) отрезки АA1 и BB1 равны (10 баллов);
б) точки K и K1 – середины отрезков A1А и B1B соответственно лежат на одной прямой, проходящей через точку О (15 баллов).
Примечание: для доказательства воспользуйтесь свойством угла KOK1.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
б) я место К и К1 взял точки М и М1
Метод координат.
Формула середины отрезка. Середина отрезка, который имеет концы в точках A(x1;y1) и B(x2; y2), имеет координаты ((x1+y1)/2;(x2+y2)/2)
Предположим, что на плоскости заданы 4 различные точки: A1(xa1;ya1), A2(xa2;ya2), B1(xb1;yb1), B2(xb2;yb2). Проведем отрезки A1B1, A2B2, A1A2, B1B2. Точка M1 является серединой отрезка A1B1, и значит имеет координаты ((xa1+xb1)/2;(ya1+yb1)/2). Аналогично точка M2 имеет координаты ((xa2+xb2)/2;(ya2+yb2)/2). Проведем отрезок M1M2. Середина M1M2 (обозначим эту точку M3) будет иметь координаты
((xm1+xm2)/2;(ym1+ym2)/2) = (((xa1+xb1)/2+(xa2+xb2)/2)/2; ((ya1+yb1)/2+(ya2+yb2)/2)/2) = ...= ((xa1+xa2+xb1+xb2)/4;(ya1+ya2+yb1+yb2)/4).
Середина A1A2 (обозначим А3) имеет координаты ((xa1+xa2)/2;(ya1+ya2)/2); аналогично середина B1B2 - точка B3((xb1+xb2)/2;(yb1+yb2)/2).
Проведем отрезок A3B3. Найдем координаты его середины
((xa3+xb3)/2; (ya3+yb3)/2) = (((xa1+xa2)/2+(xb1+xb2)/2)/2; ((ya1+ya2)/2+(yb1+yb2)/2)/2) = ((xa1+xa2+xb1+xb2)/4;(ya1+ya2+yb1+yb2)/4). А это как раз и есть координаты точки M3, которые мы нашли выше.
Получается, что точка M3 лежит на отрезке A3B3 (потому что является его серединой). Отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками. Значит существует прямая, которой принадлежат все точки отрезка A3B3, в том числе и точки A3, B3, M3, что и требовалось доказать.