Question

Помогите найти уравнение траектории точки. Типа такого, который изображен на 2 фото

Answer 1

$\left\{\begin{array}{@{}l@{}}x(t)=2\sin\dfrac{\pi t}{3},\\[10pt] y(t)=-3\cos\dfrac{\pi t}{3}+4.\end{array}\right.$

Выразим тригонометрические функции:

$\left\{\begin{array}{@{}l@{}}\sin\dfrac{\pi t}{3} = \dfrac{x}{2},\\[13pt] \cos\dfrac{\pi t}{3} = \dfrac{y-4}{-3}.\end{array}\right.$

Ну, теперь прямо напрашивается основное тригонометрическое тождество

$\sin^2\dfrac{\pi t}{3} + \cos^2\dfrac{\pi t}{3} =1, \\[10pt] \bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{y-4}{3}\bigg)^2 = 1.$

Если произвести замены $x=\widetilde{y},\quad -(y-4)=\widetilde{x}$, то получим каноническое уравнение эллипса с центром в точке с координатами $(0;0)_{\widetilde{x},\widetilde{y}} = (0;4)_{x,y}$ и длинами полуосей равными $3$ и $2$ соответственно по осям абсцисс и ординат в новой системе координат:

$\dfrac{\widetilde{y}^2}{2^2}+\dfrac{\widetilde{x}^2}{3^2}=1$