Question

В шар вписана правильная треугольная призма с наибольшим объёмом. Определите этот объем, если радиус шара равен R

Answer 1

Ответ:

V = R³

Объяснение:

Правильная треугольная пирамида вписана в шар. Значит, центр шара лежит на середине отрезка HH₁, соединяющего центры оснований.

О - центр шара,

OB = R,

$OH=\dfrac{h}{2}$

$HB=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ как радиус окружности, описанной около правильного треугольника.

Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:

$R^2=\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{h}{2}\right)^2$

$R^2=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{h^2}{4}$

$a^2=3R^2-\dfrac{3h^2}{4}$

Объем призмы:

$V=S_{ABC}\cdot h=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h$

Выразим объем через высоту призмы:

$V=\dfrac{\left(3R^2-\dfrac{3h^2}{4}\right)\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot h$

$V=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}h-\dfrac{3\sqrt{3}}{16}h^3$

Рассмотрим объем как функцию от высоты. Найдем точку максимума этой функции.

$V'=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}-\dfrac{9\sqrt{3}}{16}h^2$

$\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}-\dfrac{9\sqrt{3}}{16}h^2=0\; \: \; \: |\cdot \dfrac{16}{9\sqrt{3}}$

$\dfrac{4R^2}{3}-h^2=0$

$h=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$,  

h > 0

Отметим знаки производной на интервалах (см. рисунок)

$h=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$ - точка максимума.

Найдем объем призмы при найденном значении высоты.

$V=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}h-\dfrac{3\sqrt{3}}{16}h^3=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}\cdot \dfrac{2R}{\sqrt{3}}-\dfrac{3\sqrt{3}}{16}\cdot \dfrac{8R^3}{3\sqrt{3}}=$

$=\dfrac{3R^3}{2}-\dfrac{R^3}{2}=R^3$