Question

Даю 100 баллов!!!
Как найти сумму квадратов корней из прикреплённой задачи?

Answer 1

${x}^{2} + 9x + 18 = \frac{40}{ {x}^{2} + 5x + 4} \\ (x + 6)(x +3 ) = \frac{40}{(x + 1)(x + 4)} \\ (x + 6)(x + 3)(x + 4)(x + 1) = 40 \\ ((x + 6)( x+ 1))((x + 3)(x + 4)) = 40 \\ ( {x}^{2} + 7x + 6)( {x + 7x + 12)} = 40$

теперь обозначим

у=x²+7x+9

тогда

$(y - 3)(y + 3) = 40 \\ {y}^{2} - 9 - 40 = 0 \\ {y}^{2} - {7}^{2} = 0 \\ (y - 7)(y + 7) = 0 \\ y_{1,2}=±7$

вернёмся к замене

у=x²+7x+9

Нам осталось решить два квадратных уравнения:

x²+7x+9=7

и

х²+7х+9=-7

решаем первое

x²+7x+9=7

х²+7х+2=0

D=49-4•1•2≥0, значит решение есть.

Но решать его не будем, найдем сумму квадратов корней через теорему Виета

$x_1+x_2 = - 7 \\ x_1 \times x_2 = 2 \\ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = \\ = ( - 7) ^{2} - 2 \times 2 = 45$

решим второе

х²+7х+9=-7

x²+7x+16=0

D=49-4•16<0

решений нет

поэтому сумма квадратов корней уравнения

$x_1^2+x_2^2=45$