Question

Послідовність (bn) - геометрична прогресія . Знайти b1 і q ,якщо S3 = 49 і S5 = 217

Answer 1

Объяснение:

$S_3=49\ \ \ \ \ S_5=217\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ q > 1\ \ \ \ b_1=?\ \ \ \ \ q=?$

$\left \{ {{S_3=b_1*\frac{q^3-1}{q-1} }=49 \atop {b_1*\frac{q^5-1}{q-1} =217}} \right.\ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {{b_1*\frac{q^3-1}{q-1} }=49 \atop {b_1*\frac{q^5-1}{q-1} =217}} \right.\ \ \ \ \ \ \left \{ {{\frac{b_1}{q-1}*(q^3-1)=49 } \atop {\frac{b_1}{q-1}*(q^5-1)=217 }} \right. .$

Разделим второе уравнение на первое:

$\left \{ {{\frac{b_1*(q^3-1)}{q-1}=49 } \atop {\frac{q^5-1}{q^3-1}=\frac{31}{7} } \right.\ \ \ \ \left \{ {{\frac{b_1*(q-1)*(q^2+q+1)}{q-1}=49 } \atop {7*(q^5-1)=31*(q^3-1)}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{b_1} *(q^2+q+1)=49} \atop {7q^5-7=31q^3-31}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{b_1} =\frac{49}{q^2+q+1} \atop \atop {7q^5-31q^3+24=0}} \right..$

$\left \{ {{b_1=\frac{49}{q^2+q+1} } \atop {7q^5-31q^3+24=0}} \right. .$

$7q^5-31q^3+24=0\\7q^5-7q^3-24q^3+24=0\\7q^3*(q^2-1)-24*(q^3-1)=0\\7q^3*(q-1)*(q+1)-24*(q-1)*(q^2+q+1)=0\\(q-1)*(7q^3*(q+1)-24*(q^2+q+1))=0\\q-1=0\\q_1=1\notin.\\7q^4+7q^3-24q^2-24q-24=0\\ 7q^4+7q^3-42q^2+18q^2-24q-24=0\\7q^2*(q^2+q-6)+6*(3q^2-4q-4)=0\\7q^2*(q^2-2q+3q-6)+6*(3q^2-6q+2q-4)=0\\7q^2*((q*(q-2)+3*(q-2))+6*((3q*(q-2)+2*(q-2))=0\\7q^2*(q-2)*(q+3)+6*(q-2)*(3q+2)=0\\(q-2)*(7q^2*(q+3)+6*(3q+2))=0\\q-2=0\\q_2=2\in.$

$7q^3+21q^2+18q+12=0\\q*(7q^2+21q+18)=-12\\q*(7q^2+21q+15,75+2,25)=-12\\q*(7*(q^2+3q+2,25)+2,25)=-12\\q*(7*(q^2+2*q*1,5+1,5^2)+2,25)=-12\\q*(7*(q+1,5)^2+2,25)=-12\\7*(q+1,5)^2+2,25 > 0\ \ \ \ \Rightarrow\\q < 0\notin\ \ \ \ \Rightarrow$

Уравнение 7q³+21q²+18q+12=0 не имеет действительных положительных корней.              ⇒

$q=2.\\b_1=\frac{49}{2^2+2+1}=\frac{49}{4+2+1}=\frac{49}{7}=7.\\ b_1=7.$

Ответ: b₁=7,  q=2.