Question

БУДУ БЛАГОДАРЕН ( ͡° ͜ʖ ͡°)

Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны

точки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точ-

ке K. Пусть P — центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q — центр вневписанной

окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC

окружности Ω равноудалена от точек P и Q.​

Answer 1

Ответ:

Условие

Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.

Решение

Пусть S – середина дуги ABC окружности Ω. Тогда SA = SC, AM = CN и ∠BCS = ∠BAS. Значит, треугольники AMS и CNS равны, и они совмещаются поворотом Ф с центром в точке S на угол ∠ASC = ∠ABC. Отсюда, в частности, следует, что SM = SN и ∠MSN = ∠ABC. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. Из последнего равенства углов следует, что четырёхугольник MSBN вписан в некоторую окружность γ (см. рис.).

Описанные окружности Ωa и Ωc треугольников AMS и CNS, также совмещаются поворотом Ф. Пусть U и V – середины дуг AM и CN (не содержащих S) этих окружностей. Тогда SU = SV (то есть точка S лежит на серединном перпендикуляре к UV) и UA = VC. Из окружностей Ω и γ имеем

∠SAK = ∠SBC = ∠SMK, то есть K лежит на Ωa. Аналогично K лежит на Ωc.

Отсюда следует, что точки U и V вместе с точками P и Q лежат на биссектрисе угла ∠CKN. По лемме о трезубце для треугольников KAM и KCN (см. задачу 55381) UP = UA и VQ = VC. Так как UA = VC, это означает, что точки P и Q симметричны относительно серединного перпендикуляра к UV, на котором лежит точка S. Значит, S равноудалена от P и Q.

Второй способ. Пусть R и T – середины отрезков AC и MN соответственно. Из равнобедренных треугольников SAC и SMN имеем ∠SRK = ∠STK = 90°, то есть точки R и T лежат на окружности Г с диаметром SK. Пусть Г вторично пересекает биссектрису KQ угла AKM в точке D. Тогда DR = DT и ∠ARD = ∠DTN.

Пусть P1 и P2 – точки касания вписанной окружности треугольника AKM с прямыми KA и KM соответственно, а Q1 и Q2 – точки касания вневписанной окружности треугольника CKN с теми