Question

$x + y = 3^{ log_{3}(a + 1) } \\ \frac{ {2}^{x} + {2}^{y + a} - {4}^{a} - 2}{ \sqrt{ x + 3y + 6} } = 0$
Нужно решить систему с параметром ( не нашла как здесь поставить скобку системы)​

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{a+1 > 0} \atop {x+3y+6 > 0}} \right.$

Согласно основного логарифмического тождества:

$3^{log_{3}(a+1)}=a+1$

Тогда

$\left \{ {{x+y=a+1} \atop {a+1 > 0}} \atop {2^{x}+2^{y+a}-4^{a}-2=0\atop {x+3y+6 > 0}} }} \right.$           ⇒

$\left \{ {{y=a+1-x} \atop {a+1 > 0}} \atop {2^{x}+2^{a+1-x+a}-4^{a}-2=0\atop {x+3y+6 > 0}} }} \right.$     ⇒

$\left \{ {{y=a+1-x} \atop (2^{x}-2)+4^{a}\cdot (2^{1-x}-1)=0} \atop{ {a+1 > 0}\atop {x+3y+6 > 0}} \right.$      ⇒

$\left \{ {{y=a+1-x} \atop (2^{x}-2)-4^{a}\cdot 2^{-x}(2^{x}-2)=0} \atop{ {a+1 > 0}\atop {x+3y+6 > 0}} \right.$    ⇒

$\left \{ {{y=a+1-x} \atop (2^{x}-2)\cdot (1-4^{a}\cdot 2^{-x})=0} \atop{ {a+1 > 0}\atop {x+3y+6 > 0}} \right.$

$\left \{ {{y=a+1-x} \atop 2^{x}-2=0} \atop{ {a+1 > 0}\atop {x+3y+6 > 0}} \right.$                или      $\left \{ {{y=a+1-x} \atop 1-4^{a}\cdot 2^{x}=0} \atop{ {a+1 > 0}\atop {x+3y+6 > 0}} \right.$

$\left \{ {{y=a+1-x} \atop 2^{x}=2} \atop{ {a+1 > 0}\atop {x+3y+6 > 0}} \right.$                или      $\left \{ {{y=a+1-x} \atop 4^{a}\cdot 2^{x}=1} \atop{ {a+1 > 0}\atop {x+3y+6 > 0}} \right.$

$\left \{ {{y=a+1-1} \atop x=1} \atop{ {a+1 > 0}\atop {1+3a+6 > 0}} \right.$                или      $\left \{ {{y=a+1-x} \atop 2^{x+2a}=2^{0}} \atop{ {a+1 > 0}\atop {x+3y+6 > 0}} \right.$   ⇒$\left \{ {{y=a+1-x} \atop x+2a=0} \atop{ {a+1 > 0}\atop {x+3y+6 > 0}} \right.$

$\left \{ {{y=a} \atop x=1} \atop{ {a > -1}\atop {a > -\frac{7}{3}}} \right.$                или        $\left \{ {{y=3a+1} \atop x=-2a} \atop{ {a > -1}\atop {-2a+3(3a+1)+6 > 0}} \right.$  ⇒$\left \{ {{y=3a+1} \atop x=-2a} \atop{ {a > -1}\atop {a > -\frac{9}{7}}} \right.$

О т в е т. (1;a); (-2a;3a+1)   при  a>-1