Question

В треугольник, длины сторон которого относятся как m : n : p, вписан
круг. Найти отношение, в котором каждая точка касания делит
соответствующую сторону треугольника.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{BH}{HA}=\frac{n+m-p}{m-n+p} \\ \\\frac{BE}{EC}=\frac{n+m-p}{n-m+p} \\ \\\frac{AK}{KC}= \frac{m-n+p}{n-m+p}$

Пошаговое объяснение:

Задание: В треугольник, длины сторон которого относятся как m : n : p, вписан круг.

Найти отношение, в котором каждая точка касания делит

соответствующую сторону треугольника.

Дано: Окр.О - вписана в ΔАВС.

АВ : ВС : АС = m : n : p

Найти: ВН : НА; ВЕ : ЕС; АК : КС.

Решение:

• Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Примем НВ = х.

Тогда, согласно теореме о касательных:

ВЕ = х.

АН = m - x  ⇒   AK = m-x

EC = n - x  ⇒  KC = n - x

С другой стороны:

КС = р - АК = р - (m-x)

Отрезки выразили. Но надо избавиться от х.

Составим уравнение и выразим х:

p - (m - x) = n - x

p - m + x = n - x

2x = n + m - p

$\displaystyle x = \frac{1}{2}(n+m-p)$

Подставим вместо х его значение в выше написанные равенства:

$\displaystyle HB = BE=x=\frac{1}{2} (n+m-p)\\\\EC = KC=n-x=n-\frac{1}{2} (n+m-p)=\frac{1}{2} (n-m+p)\\\\AH=AK=m-x=m-\frac{1}{2} (n+m-p)=\frac{1}{2} (m-n+p)$

Найдем искомые отношения:

$\displaystyle \frac{BH}{HA}=\frac{n+m-p}{m-n+p} \\ \\\frac{BE}{EC}=\frac{n+m-p}{n-m+p} \\ \\\frac{AK}{KC}= \frac{m-n+p}{n-m+p}$