Question

Знайти осі вершини фокуси ексцентриситет та рівняння асимптот гіпербрли 4x²-5y²-100=0

Answer 1

Ответ:

1. Вершины гиперболы  А₁(-5; 0);  А₂(5;0);

2. Оси:

AA₁= 10 - действительная ось гиперболы.

BB₁ = 4√5 - мнимая ось гиперболы.

3. Фокусы F₁(-3√5; 0), F₂(3√5; 0);

4. Эксцентриситет гиперболы: $\displaystyle e=\frac{3\sqrt{5} }{5}$ ;

5. Асимптоты:

$\displaystyle y=\pm\frac{2\sqrt{5} }{5}x$

Пошаговое объяснение:

Требуется знайти осі, вершини, фокуси, ексцентриситет та рівняння асимптот гіпербрли 4x²-5y²-100=0.

• Гипербола - множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, причем это постоянная меньше расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

$\displaystyle \boxed { \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 }$

1. Приведем данное уравнение гиперболы к каноническому виду. Для этого (-100) перенесем вправо. Затем разделим на 100 обе части уравнения:

$\displaystyle 4x^2-5y^2=100\;\;\;|:100\\\\\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{20}=1$

то есть а = 5; b = 2√5.

2. Точки А₁(-а; 0) и А₂(а; 0) - вершины гиперболы.

⇒ А₁(-5; 0);  А₂(5;0)

3. AA₁ = 2a = 10 - действительная ось гиперболы.

BB₁ = 2b = 4√5 - мнимая ось гиперболы.

4. Фокусы гиперболы имеют координаты F₁(-c; 0), F₂(c; 0)

c² = a² + b²

c² = 25 + 20 = 45

c = √45 = 3√5

⇒ F₁(-3√5; 0), F₂(3√5; 0)

5. Эксцентриситет гиперболы:

$\displaystyle e=\frac{c}{a} > 1$

$\displaystyle e=\frac{3\sqrt{5} }{5}$

6. Гипербола имеет две асимптоты:

$\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{2\sqrt{5} }{5}x$