Question

вычислить определенный интеграл . Помогите решить подробно пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$\frac{2\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Пошаговое объяснение:

$\int\limits_0^{\sqrt{3}} {x*\arctan{x}} \, dx =\frac{1}{2} \int\limits_0^{\sqrt{3}} {\arctan{x}} \, d(x^2)=\frac{1}{2}\left(x^2\arctan{x}|_0^{\sqrt{3}}-\int\limits_0^{\sqrt{3}} {x^2\,d(\arctan{x}})\right)=$

$=\frac{1}{2}\left((\sqrt{3})^2\arctan{\sqrt{3} }-0^2*\arctan0-\int\limits_0^{\sqrt{3}} {x^2\,d(\arctan{x}})\right)=\\=\frac{1}{2}\left(3*\frac{\pi}{3}-0*0-\int\limits_0^{\sqrt{3}} {x^2\,d(\arctan{x}})\right)=\frac{1}{2}\left(\pi-\int\limits_0^{\sqrt{3}} {\frac{x^2}{1+x^2} \,dx\right)=$

$=\frac{1}{2}\left(\pi-\int\limits_0^{\sqrt{3}} {\frac{1+x^2-1}{1+x^2} \,dx\right)=\frac{1}{2}\left(\pi-\int\limits_0^{\sqrt{3}} {(1-\frac{1}{1+x^2}) \,dx\right)=$

$=\frac{1}{2} \left(\pi-(x-\arctan x)\limits|_0^{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{2}\left(\pi-(\sqrt{3} -\arctan\sqrt{3} )\right)=\frac{1}{2} \left(\pi-\sqrt{3}+\frac{\pi}{3} }\right)=$

$=\frac{1}{2} \left(-\sqrt{3}+\frac{4\pi}{3} }\right)=\frac{2\pi}{3} -\frac{\sqrt{3} }{2}$