Question

Доказать методом математической индукции при натуральных n

Answer 1

Ответ:

1)

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \ldots + n^{2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

$n = 1;$ $1^{2} = 1 = \dfrac{1(1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \dfrac{2 \cdot (2 + 1)}{6} = \dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3} = 1$

$n = k;\boxed{ 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \ldots + k^{2} = \dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}}$ - пусть верно

$n = k + 1; \underbrace{ 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \ldots + k^{2}}_{\dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} } + (k + 1)^{2} = \dfrac{(k + 1)(k + 1 + 1)(2(k + 1) + 1)}{6}$

$\dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^{2} = \dfrac{(k + 1)(k + 1 + 1)(2(k + 1) + 1)}{6}$

а)

$\dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^{2} = \dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + \dfrac{6(k + 1)^{2}}{6} =$

$\dfrac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^{2}}{6} = \dfrac{(k + 1)(k(2k + 1) + 6(k + 1))}{6} =$

$= \dfrac{(k + 1)(2k^{2} + k + 6k + 6)}{6} = \dfrac{(k + 1)(2k^{2} + 7k + 6)}{6}$

б)

$\dfrac{(k + 1)(k + 1 + 1)(2(k + 1) + 1)}{6} = \dfrac{(k +1)(k + 2)(2k + 2 + 1)}{6} =$

$= \dfrac{(k +1)(k + 2)(2k + 3)}{6} = \dfrac{(k +1)(2k^{2} + 3k + 4k + 6)}{6} = \dfrac{(k +1)(2k^{2} + 7k + 6)}{6}$

Так как в пункте а) и б) путем равносильных преобразований получилось одно и тоже выражение, то есть а) = б).

$\dfrac{(k + 1)(2k^{2} + 7k + 6)}{6} = \dfrac{(k + 1)(2k^{2} + 7k + 6)}{6}$

Тогда согласно методу математической индукции исходное утверждение доказано.

2)

$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \ldots + (2n - 1)^{2} = \dfrac{n(4n^{2} - 1)}{3}$

$n = 1; 1^{2} = 1 = \dfrac{1(4 \cdot 1^{2} - 1)}{3} = \dfrac{(4 - 1)}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$

$n = k; \boxed{1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \ldots + (2k - 1)^{2} = \dfrac{k(4k^{2} - 1)}{3}}$ - пусть верно

$n = k + 1;$

$\underbrace {1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \ldots + (2k - 1)^{2}}_{\dfrac{k(4k^{2} - 1)}{3}} + (2(k + 1) - 1)^{2} = \dfrac{(k + 1)(4(k + 1)^{2} - 1)}{3}$$\dfrac{k(4k^{2} - 1)}{3} + (2(k + 1) - 1)^{2} = \dfrac{(k + 1)(4(k + 1)^{2} - 1)}{3}$

$\dfrac{k(4k^{2} - 1)}{3} + 4k^{2} + 4k + 1 = \dfrac{(k + 1)(4k^{2} + 8k + 3)}{3}$

а)

$(2(k + 1) - 1)^{2} = (2k + 2 - 1)^{2} = (2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1$

б)

$4(k + 1)^{2} - 1 = 4(k^{2} + 2k + 1) - 1 = 4k^{2} + 8k + 4 - 1 = 4k^{2} + 8k + 3$

$\dfrac{k(4k^{2} - 1)}{3} + 4k^{2} + 4k + 1= \dfrac{(k + 1)(4k^{2} + 8k + 3)}{3}$

в)

$\dfrac{k(4k^{2} - 1)}{3} + 4k^{2} + 4k + 1 = \dfrac{4k^{3} - k}{3} + \dfrac{3(4k^{2} + 4k + 1 )}{3} =$

$= \dfrac{4k^{3} - k +3(4k^{2} + 4k + 1 )}{3} = \dfrac{4k^{3} - k + 12k^{2} + 12k + 3 }{3} =$

$= \dfrac{4k^{3} + 12k^{2} + 11k + 3 }{3}$

г)

$\dfrac{(k + 1)(4k^{2} + 8k + 3)}{3} = \dfrac{4k^{3} + 8k^{2} + 3k + 4k^{2} + 8k + 3}{3} =$

$= \dfrac{4k^{3} + 12k^{2} + 11k + 3}{3}$

Так как в пункте в) и г) путем равносильных преобразований получилось одно и тоже выражение, то есть в) = г).

$\dfrac{4k^{3} + 12k^{2} + 11k + 3}{3} = \dfrac{4k^{3} + 12k^{2} + 11k + 3}{3}$

Тогда согласно методу математической индукции исходное утверждение доказано.

3)

$1 \cdot 3 + 2 \cdot 5+ 3 \cdot 7 \ldots + n(2n + 1) = \dfrac{n(n +1)(4n + 5)}{6}$

$n = 1;1 \cdot 3 = 3 = \dfrac{1(1 +1)(4 \cdot 1 + 5)}{6} = \dfrac{2(4 + 5)}{6} = \dfrac{2 \cdot 9}{2 \cdot 3} = \dfrac{9}{3} = 3$

$n = k;\boxed{ 1 \cdot 3 + 2 \cdot 5+ 3 \cdot 7 \ldots + k(2k + 1) = \dfrac{k(k +1)(4k + 5)}{6}}$ - пусть верно

$n = k + 1;$

$\underbrace{ 1 \cdot 3 + 2 \cdot 5+ 3 \cdot 7 \ldots + k(2k + 1)}_{ \dfrac{k(k +1)(4k + 5)}{6}} + (k + 1)(2(k + 1) + 1) =$

$= \dfrac{(k + 1)(k +1 + 1)(4(k + 1) + 5)}{6}$

$\dfrac{k(k +1)(4k + 5)}{6} + (k + 1)(2(k + 1) + 1)= \dfrac{(k + 1)(k +1 + 1)(4(k + 1) + 5)}{6}$

$\dfrac{k(k +1)(4k + 5)}{6} + (k + 1)(2k + 2 + 1)= \dfrac{(k + 1)(k +2)(4k + 4 + 5)}{6}$

$\dfrac{k(k +1)(4k + 5)}{6} + (k + 1)(2k + 3)= \dfrac{(k + 1)(k +2)(4k + 9)}{6}$

-----------------------------------------------------------------------------------

а)

$\dfrac{k(k +1)(4k + 5)}{6} + (k + 1)(2k + 3) = \dfrac{k(k +1)(4k + 5)}{6} + \dfrac{6(k + 1)(2k + 3)}{6} =$

$= \dfrac{k(k +1)(4k + 5) + 6(k + 1)(2k + 3)}{6} = \dfrac{(k + 1)(k(4k + 5) + 6(2k + 3))}{6} =$

$= \dfrac{(k + 1)(4k^{2} + 5k + 12k + 18)}{6} = \dfrac{(k + 1)(4k^{2} + 17k + 18)}{6}$

б)

$(k +2)(4k + 9) = 4k^{2} + 9k + 8k + 18 = 4k^{2} + 17k + 18$

-----------------------------------------------------------------------------------

Так как правую и левую часть тождества

$\dfrac{k(k +1)(4k + 5)}{6} + (k + 1)(2(k + 1) + 1)= \dfrac{(k + 1)(k +1 + 1)(4(k + 1) + 5)}{6}$

путем равносильных преобразований удалось свести к равному выражению, тогда

$\dfrac{(k + 1)(4k^{2} + 17k + 18)}{6} = \dfrac{(k + 1)(4k^{2} + 17k + 18)}{6}$

первоначально утверждение доказано методом математической индукции.