Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ!!!

аны различные числа a, b, c. Известно, что три прямые


y=a²x+bc, y=b²x+ac, y =c²x+ab


пересекаются в одной точке. Найдите значение выражения a+b+c

Answer 1

Три прямые пересекаются в одной точке.

Значит система уравнений:

$\left \{ {{{y=a^2x+bc} \atop {y=b^2x+ac}} \atop {{y=c^2x+ab}} \right.$

имеет единственное решение

Приравниваем правые части первого и второго уравнений

$\left \{ {{{b^2x+ac=a^2x+bc} \atop{y=b^2x+ac}} \atop {{y=c^2x+ab}} \right.$

$\left \{ {{{b^2x-a^2x=bc-ac} \atop {y=b^2x+ac}} \atop {{y=c^2x+ab}} \right.$

$\left \{ {{{(b-a)(b+a)x=(b-a)c} \atop {y=b^2x+ac}} \atop {{y=c^2x+ab}} \right.$

Даны различные числа a, b, c.

a≠b

и

a≠-b

$\left \{ {{{x=\frac{c}{a+b}} \atop {y=b^2x+ac}} \atop {{y=c^2x+ab}} \right.$

Подставляем во второе и третье и находим у:

$\left \{ {{{x=\frac{c}{a+b}} \atop {y=b^2\frac{c}{a+b}+ac}} \atop {{y=c^2\frac{c}{a+b}+ab}} \right.$

Приравниваем правые части:

$\frac{b^2c+a^2c+abc}{a+b}=\frac{c^3+a^2b+ab^2}{a+b}$

a≠-b

$b^2c+a^2c+abc=c^3+a^2b+ab^2$

$c^3+a^2b+ab^2-b^2c-a^2c-abc=0$

Раскладываем на множители способом группировки:

$(c^3-a^2c)+(a^2b-abc)+(ab^2-b^2c)=0$

$c(c^2-a^2)+ab(a-c)+b^2(a-c)=0$

$(a-c)(-ac-c^2+ab+b^2)=0$

числа a, b, c - различные

a≠c

значит

$(-ac-c^2+ab+b^2)=0$

Раскладываем на множители способом группировки:

$(ab-ac)+b^2-c^2=0$

$a(b-c)+(b-c)(b+c)=0$

$(b-c)(a+b+c)=0$

числа a, b, c - различные

b≠c

значит

$(a+b+c)=0$