Question

Помогите пожалуйста решить задачу по высшей математике ​

Answer 1

Ответ:

$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{3at}{1+t^2}\\y=\dfrac{3at^2}{1+t^2}\end{array}\right\ \ ,\ \ t_0=2$

Уравнение касательной  $y-y_0=f'_{x}(t_0)\cdot (x-x_0)$  и нормали  $y-y_0=-\dfrac{1}{f'_x(t_0)}\cdot (x-x_0)$  .

Найдём   $x_0=x(t_0)$  и  $y_0=y(t_0)$   .

$x_0=x(2)=\dfrac{3a\cdot 2}{1+2^2}=\dfrac{6a}{5}\ \ ,\ \ \ y_0=y(2)=\dfrac{3a\cdot 2^2}{1+2^2}=\dfrac{12a}{5}$

Найдём производные от  х и от  у  по t .

$x'_{t}=\dfrac{3a(1+t^2)-3at\cdot 2t}{(1+t^2)^2}=\dfrac{3a+3at^2-6at^2}{(1+t^2)^2}=\dfrac{3a-3at^2}{(1+t^2)^2}\\\\\\y'_{t}=\dfrac{3a\cdot 2t(1+t^2)-3at^2\cdot 2t}{(1+t^2)^2}=\dfrac{6at+6at^3-6at^3}{(1+t^2)^2}=\dfrac{6at}{(1+t^2)^2}\\\\\\f'_{x}(t)=\dfrac{y'_{t}}{x'_{t}}=\dfrac{6at}{3a-3at^2}=\dfrac{2t}{1-t^2}\\\\\\f'_{x}(t_0)=f'_{x}(2)=\dfrac{2\cdot 2}{1-2^2}=-\dfrac{4}{3}$

Уравнение касательной:   $y-\dfrac{12a}{5}=-\dfrac{4}{3}\cdot \Big(x-\dfrac{6a}{5}\Big)\ \ ,$

$y=\dfrac{12a}{5}-\dfrac{4}{3}\cdot x+\dfrac{8a}{5}\ \ ,\ \ \ y=-\dfrac{4}{3}\cdot x+\dfrac{20a}{5}\ \ ,\ \boxed{\ y=-\dfrac{4}{3}\cdot x+4a\ }$

Уравнение нормали :   $y-\dfrac{12a}{5}=\dfrac{3}{4}\cdot \Big(x-\dfrac{6a}{5}\Big)\ \ ,$  

$y=\dfrac{12a}{5}+\dfrac{3}{4}\cdot x-\dfrac{9a}{10}\ \ ,\ \ \ y=\dfrac{3}{4}\cdot x+\dfrac{15a}{10}\ \ ,\ \boxed{\ y=\dfrac{3}{4}\cdot x+\dfrac{3a}{2}\ }$

Answer 2

Объяснение:

$y=\frac{3at^2}{1+t^2}.$

$\boxed {y_k=y(t_0)+y'(t_0)*(t-t_0)}\\y(2)=\frac{3a*2^2}{1+2^2} =\frac{3*4*a}{1+4} =\frac{12a}{5}=2,4a.\\ y'(t_0)=(\frac{3at^2}{1+t^2})'=\frac{(3at^2)'*(1+t^2)-3at^2*(1+t^2)'}{(1+t^2)^2}=\frac{3a*2t*(1+t^2)-3at^2*2t}{(1+t^2)^2} =\\ =\frac{6at+6at^3-6at^3}{(1+t^2)^2} =\frac{6at}{(1+t^2)^2}.\\ y'(2)=\frac{6a*2}{(1+2^2)^2}=\frac{12a}{(1+4)^2} =\frac{12a}{5^2}=\frac{12a}{25}=0,48a.\\ y_k=2,4a+0,48*(t-2)=2,4a+0,48t-0,96=0,48t-1,44.$

$\boxed {y_n=y(t_0)-\frac{t-t_0}{y'(t_0)} } \\y_n=2,4a-\frac{t-2}{0,48a}=\frac{1,152a^2-t+2}{0,48a}=\frac{-t+1,162a+2}{0,48} .$