Question

Верно ли равенство a∩b) ∪c=(a∪C) ∩(b∪C) для любых множеств А, В, С

Answer 1

Да, это закон дистрибутивности относительно объединения.

Доказательство:∪∩

Возьмём x из множества (a∩b)∪c.

Значит, он лежит либо в (a∩b), либо в с.

1) пусть он лежит в с. Но пересечение (a∪c)∩(b∪c) полностью содержит в себе множество с, а значит и х.

2) пусть он лежит в a∩b. Диаграммы Эйлера-Венна показывают, что (a∪c)∩(b∪c) содержит в себе и это множество.

Аналогично можно показать, что любой х из правой части лежит в левой.

А значит, эти части поэлементно совпадают.