Question

Найти кратчайшее расстояние от окружности до прямой! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, ДАЮ 100 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ: кратчайшее расстояние от данной окружности до прямой равно 3,6.

                                           Объяснение:

Общий вид уравнения окружности:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где а и b — координаты центра.

Нам дана окружность x² + y² = 36.

Судя по уравнению, ее центр имеет координаты (0; 0), а радиус равен √36 = 6.

Общий вид уравнения прямой:

$y = kx+b$, где k — угловой коэффициент, равный тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси ОХ, а b — свободный член, равный ординате точки пересечения прямой с осью ОУ.

Нам дана прямая $\displaystyle y = \frac{4}{3}x + 16.$

Судя по уравнению, тангенс угла между ней и положительным направлением ОХ равен $\displaystyle \frac{4}{3}$ и прямая пересекает ОУ в точке (0; 16).

Расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр, проведенный из этой точки на прямую.

Поэтому, если мы из центра окружности опустим перпендикуляр на прямую, то кратчайшим расстоянием от окружности до прямой будет отрезок, соединяющий конец радиуса и основание перпендикуляра (на рисунке это отрезок МК).

______________________________

Дано:

∠BOC = 90° (потому что координатные оси перпендикулярны);

BO = 16;

tg∠BCD = $\displaystyle -\frac{4}{3}$;

ОК ⊥ ВС;

ОМ = 6.

Найти:

МК.

                                               Решение:

∠BCD и ∠BCO — смежные, а значения тангенсов смежных углов противоположны.

Поэтому tg∠BCO = $\displaystyle \frac{4}{3}$.

Поскольку тангенс угла равен отношению противолежащего ему катета к прилежащему, можем записать такую пропорцию:

$\displaystyle \frac{OB}{OC}= \frac{4}{3}$

$\displaystyle \frac{16}{OC}= \frac{4}{3}$

Выразим ОС:

$\displaystyle OC = \frac{16\cdot 3}{4} = 4\cdot 3 = 12$.

По теореме Пифагора:

BC² = BO² + OC² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400

BC = √400 = 20.

ОК — высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе.

По метрическим соотношениям:

$\displaystyle OK = \frac{BO \cdot OC}{BC} = \frac{16 \cdot 12}{20}= 9,6$.

Вычтем отсюда радиус окружности:

МК = ОК - ОМ = 9,6 - 6 = 3,6.