Question

2017^10+2017^5+1 разделить на 2018. Найти остаток от деления.

Answer 1

Числа, равные по модулю N, имеют при делении на N равные остатки.

Равенство чисел по модулю N: если к числу А прибавить (или вычесть из него) некоторое количество раз число N, то полученное число будет равно числу А по модулю N.

$A\equiv A+kN\pmod N,\ k\in\mathbb{Z}$

Вследствие этого получим:

$2017=2018-1\equiv-1\pmod {2018}$

Рассмотрим заданное выражение:

$2017^{10}+2017^5+1\equiv(-1)^{10}+(-1)^5+1=1-1+1=1\pmod{2018}$

Так как число 1 при делении на 2018 дает остаток 1, то и число $2017^{10}+2017^5+1$ при делении на 2018 дает остаток 1.

Ответ: 1