Question

Найти расстояние между прямыми AD и BC

Answer 1

Ответ:

4.5

Объяснение:

Прямая AD проходит через точку M1(6, −6, −6) и имеет направляющий вектор q1={1, −3, −3}

Прямая BC проходит через точку M2=(−7, −1, −2) и имеет направляющий вектор q2={4, 3, 7}

Векторы q1 и q2 неколлинеарные

Построим плоскость α1, проходящую через прямую AD, параллельно прямой BC. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию: A1x1+B1y1+C1z1+D1=0

а условие параллельности прямой AD и искомой плоскости α1 представляется следующим условием: A1m1+B1p1+C1l1=0

Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой BC, то должна выполнятся условие: A1m2+B1p2+C1l2=0

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными. Подставим значения x1, y1, z1, m1, p1, l1, m2, p2, l2 в указанные выше уравнения:

A1·6+B1·( −6)+C1·(−6)+D1=0

A1·1+B1·(−3)+C1·(−3)+D1=0

A1·4+B1·3+C1·7+D1=0

Представим эти уравнения в матричном виде: см.рис1

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

A1x+B1y+C1z+D1=0

Подставляя значения A1, B1, C1, D1  получим:

12x+19y−15z−48=0

Шаг 2.

Построим плоскость α2, проходящую через прямую ВС, параллельно прямой AD.

Поскольку плоскость α2 проходит через прямую BC , то она проходит также через точку M2(x2, y2, z2)=M2(−7, −1, −2) и нормальный вектор n2={m2, p2, l2} плоскости α2 перпендикулярна направляющему вектору q2 прямой BC. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию: A2x2+B2y2+C2z2+D2=0

а условие параллельности прямой BC и искомой плоскости α2 представляется следующим условием: A2m2+B2p2+C2l2=0

Так как плоскость α2 должна быть параллельной прямой AD, то должна выполнятся условие: A2m1+B2p1+C2l1=0

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

A2x+B2y+C2z+D2=0

Подставляя значения A2, B2, C2, D2 получим:

12 x+19y−15z+73=0

Шаг 3.

Расстояние между построенными плоскостями и будет расстоянием между прямыми

Поскольку нормальные векторы плоскостей α1 и α2 совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α1 и α2, используя следующую формулу:

D = $\frac{-48-78}{\sqrt{12^{2} +19^{2}+(-15)^{2}}}$ = 4.478 или 4.5