Question

Отрезки PH и PF являются высотой и биссектрисой треугольника PQR соответственно. Известно, что угол PQR - угол PRQ = 22 градуса. Найдите угол HPF.

Пожалуйста, с объяснением и, если возможно, рисунком!

Answer 1

Ответ:

∠HPF = 11°.

Объяснение:

Отрезки PH и PF являются высотой и биссектрисой ΔPQR соответственно. Разность между величинами углов PQR и PRQ равна 22°. Найти  угол HPF.

Дано: ΔPQR;

PH - высота;
PF - биссектриса;

∠PQR - ∠PRQ = 22°.

Найти: ∠HPF.

Решение.

1) По условию:

∠PQR - ∠PRQ = 22°.

⇒ ∠PQR = ∠PRQ + 22°.

Пусть ∠PRQ = x, тогда ∠PQR = x + 22°.

• Сумма углов в треугольнике равна 180°

2) В ΔPQR

∠PRQ = x;

∠PQR = x + 22°;

∠QPR = 180° - x - (x + 22°) = 180° - x - x - 22° = 158 - 2x.

• Биссектриса угла в треугольнике - это луч, с началом в вершине угла и делящий угол пополам.

3) По условию PF - биссектриса.
∠FPR = ∠QPF = ∠QPR : 2 = (158 - 2x) : 2 = 79 - x.

• Высота - это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

4) PH - высота по условию.

ΔQPH прямоугольный.  ∠PHQ = 90°, ∠PQH = x + 22°,

⇒ ∠QPH = 90° - (x + 22°) = 90° - x - 22° = 68° - x.

5) Для удобства обозначим угол между биссектрисой и высотой α.

∠HPF = α.

∠α = ∠QPF - ∠QPH;

∠α = 79 - x - (68 - x) = 79 - x - 68 + x = 11°

∠HPF = 11°.

Угол между биссектрисой и высотой равен 11°.