Question

Решите неравенство:
$4(1 - tgx) {}^{2004} + (1 + tgx) {}^{2006} \geqslant 2 {}^{2006}$
​

Answer 1

Ответ: $x\in\bigcup\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\left(\left[\dfrac{\pi}{4}+\pi n;\dfrac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\dfrac{3\pi}{4}+\pi n\right]\right)$

Объяснение: ${}$ Обозначим $tg x =t,$ получаем неравенство

                       $\left(\dfrac{t-1}{2}\right)^{2004}+\left(\dfrac{t+1}{2}\right)^{2006}\ge 1.$

Легко заметить, что при t = 1 и t = - 1 неравенство превращается в равенство. Обозначим функцию, стоящую в левой части неравенство через  f(t). Имеем:

$f''(t)=\dfrac{2004\cdot2003}{4}\left(\dfrac{t-1}{2}\right)^{2002}+\dfrac{2006\cdot 2005}{4}\left(\dfrac{t+1}{2}\right)^{2004} > 0$

при всех значениях t, поэтому функция вогнута на всей прямой, а тогда неравенство выполнено при

                   $t\in (-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$

Остается вернуться к  x.