Question

Найдите наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения

${x}^{2} - 2ax + 2 {a}^{2} - 6a + 8 = 0.$
(a - параметр).​

Answer 1

Ответ:

$Min_{(x_1^2+x_2^2)}=8$

Решение

Рассмотрим уравнение
$x^2-2ax+2a^2-6a+8=0$

Согласно теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна среднему коэффициенту взятого с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену:
$x_1+x_2=-b\\x_1*x_2=c$

Найдем отсюда сумму квадратов:
$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\\ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\x_1^2+x_2^2=b^2-2c$

Пусть $x_1^2+x_2^2=f_{(a)}$, тогда подставим значения коэффициентов и найдем минимальное значение функции:
$f_{(a)}=4a^2-2(2a^2-6a+8)\\f_{(a)}=4a^2-4a^2+12a-16\\f_{(a)}=12a-16$

Функция является линейной, с положительным коэффициентом при a, то есть монотонно возрастает, значит меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции
Из дискриминанта видно, что область определения a при которых имеются действительные решения равна [2;4]

Следовательно минимальное значение f(a) лежит в меньшем значении промежутка [2;4], то есть в a = 2

$f_{(2)}=12*2-16\\f_{(2)}=8\\Min_{(x_1^2+x_2^2)}=8$

Полные Формулы

$ax^2+bx+c=0$, тогда для действительных корней теорема Виета:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\x_1*x_2=\frac{c}{a}$

Формула корней через дискриминант:
$D=b^2-4ac\\x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D} }{2a} \\x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

Или половинный дискриминант (если b кратно 2):
$D=(\frac{b}{2}) ^2-ac\\x_{1,2}=\frac{\frac{b}{2} \pm \sqrt{D} }{a} \\x_{1,2}=\frac{\frac{b}{2} \pm \sqrt{(\frac{b}{2}) ^2-ac} }{a}$

Все это при $D\geq 0$