Question

Знайдіть косинус кута між векторами a і b, якщо a=2m+3n b=3m-n |m|= |n|=1 , і m та n перпендикулярні. Даю 100 баллов!

Answer 1

Найдите косинус угла между векторами a и b, если a=2m+3n ,b=3m-n ,|m|= |n|=1 и вектора m и n перпендикулярны.

Объяснение:

1)

$\displaystyle \vec{a} * \vec{b} = |\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\vec{a},\vec{b})\ \\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a} * \vec{b} }{ |\vec{a}|*|\vec{b}|}$

2)  $\displaystyle \vec{a} * \vec{b} =(2\vec{m}+3\vec{n})*(3\vec{m}-\vec{n})$ = $\displaystyle 6\vec{m}^{2} +7\vec{n}*\vec{m}-3\vec{n}^{2}$

Скалярный квадрат $\displaystyle 6\vec{m}^{2} =6*|\vec{m}|^{2}=6*1^{2} =6$  ,

Скалярный квадрат $\displaystyle 3\vec{n}^{2} =3*|\vec{n}|^{2}=3*1^{2} =3$  .

Скалярное произведение векторов $\displaystyle 7\vec{n}*\vec{m}$ равно нулю , тк они перпендикулярны. Тогда $\displaystyle \vec{a} * \vec{b} =6+3=9$ .

3) Длины векторов -это длины отрезков на которых лежат эти вектора . По условию вектора  $\displaystyle \vec{n},\vec{m}$ перпендикулярны .

a) Суммой  векторов $\displaystyle 2\vec{m}+3\vec{n}$ (чертеж 1) по правилу параллелограмма будет вектор $\displaystyle \vec{AK}$. Длину найдем из прямоугольного ΔАСК с длиной катетов 2 и 3 по теореме Пифагора $\displaystyle |\vec{a}|=\sqrt{(1+9)} =\sqrt{10}$.

б) Разностью векторов  $\displaystyle 3\vec{m}-\vec{n}$ (чертеж 2) будет вектор $\displaystyle \vec{BC}$ .Из ΔАВС-прямоугольного , по т. Пифагора   $\displaystyle |\vec{b}|=\sqrt{(1+9)} =\sqrt{10}$

4)

$\displaystyle \\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{9}{\sqrt{10}*\sqrt{10} } =\frac{9}{10} =0,9$ .