Question

sin п/3 cos3x-cos п/3sin3x≥1

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x=-\frac{\pi }{18} +\frac{2}{3}\pi n ~~ ; ~ n \in \mathbb Z$

Объяснение:

$\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos 3x - \cos \frac{\pi }{3}\cdot \sin3x \geqslant 1$

Заметим , что  можно применить формулу

$\sin (a-b) = \sin a\cos b -\sin b \cos a$

Тогда

$\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos 3x - \cos \frac{\pi }{3}\cdot \sin3x \geqslant 1 \\\\ \sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos 3x - \sin3x \cdot \cos \frac{\pi }{3} \geqslant 1 \\\\ \sin \left (\frac{\pi }{3} -3x \right) \geqslant 1 \\\\ -\sin \left( 3x -\frac{\pi }{3} \right) \geqslant 1 \\\\ \sin \left( 3x -\frac{\pi }{3} \right) \leqslant -1$

Т.к область значения функции $y = \sin x$  находиться в промежутке

y ∈ [ -1  ; 1 ]

То данное неравенство будет выполняться ,  только тогда когда
будет выполняться равенство

( т.к функция  $y = \sin x$ меньшее -1  )

$\displaystyle \sin \left (3x-\frac{\pi }{3} \right) = -1 \\\\ 3x-\frac{\pi }{3} = -\cfrac{\pi }{2}+2\pi n \\\\ 3x=-\cfrac{\pi }{6} +2 \pi n \\\\\ \boxed{x=-\frac{\pi }{18} +\frac{2}{3}\pi n ~~ ; ~ n \in \mathbb Z}$