Question

Решите олимпиадную задачу.
В классе 14 человек. В каждый из 62 учебных осенних дней какие-то четверо из них назначались дежурными. Докажите, что какие-то двое ребят дежурили вместе хотя бы 5 раз.
Решение. Предположим, утверждение задачи неверно. Посчитаем двумя способами, сколько всего на протяжении осени было пар ребят, дежурящих вместе (каждые двое ребят могли дежурить вместе несколько раз.)
Каждый день дежурили четверо, и пар дежурств в этот день было ровно-?
Значит, за 62 дня пар дежурящих вместе ребят было ровно: 62×?=?
С другой стороны, всего различных пар ребят в компании из 14 человек ровно-?
Если никакая пара не дежурила вместе хотя бы 5 раз, то каждая пара ребят дежурила вместе не более 4 раз. Тогда суммарно пар дежурящих вместе ребят было не более:
4×?=?
Но ранее мы выяснили, что их ровно-?, противоречие. Значит какие-то двое ребят дежурили вместе хотя бы 5 раз.

Answer 1

Ответ: Предположим, утверждение задачи неверно. Посчитаем двумя способами, сколько всего на протяжении осени было пар ребят, дежурящих вместе (каждые двое ребят могли дежурить вместе несколько раз).

Каждый день дежурили четверо, и пар дежурств в этот день было ровно
6
. Значит, за 62 дня пар дежурящих вместе ребят было ровно
62⋅
6
=
372
.

С другой стороны, всего различных пар ребят в компании из 14 человек ровно
91
. Если никакая пара не дежурила вместе хотя бы 5 раз, то каждая пара ребят дежурила вместе не более 4 раз. Тогда суммарно пар дежурящих вместе ребят было не более
4⋅
91
=
364
.

Но ранее мы выяснили, что их ровно
372
, противоречие. Значит, какие-то двое ребят дежурили вместе хотя бы 5 раз.