Построить график функции y= 4x^6-6x^4
Очень подробно, даю 80 баллов
Ответы
Ответ:
1.х ∈ R
2. функция четная
3. х = 0; у = 0
у = 0; х = 0; ±1,2
4. Функция непрерывна, асимптот нет
5. Функция возрастает на промежутках: [-1; 0]; [1; +∞)
Убывает на промежутках: (-∞; -1]; [0; 1]
х max = 0; x min = ± 1
6. Вогнута на промежутках: (-∞; -0,8]; [0,8; +∞)
Выпукла: [-0,8; 0,8]
х = ± 0,8 - точки перегиба
Пошаговое объяснение:
Исследовать функцию и построить график у = 4х⁶-6х⁴.
1. х ∈ R
2.Четность, нечетность.
Если у(-х) = у(х) - функция четная;
если у(-х) = -у(х) - функция нечетная.
у(-х) = 6 · (-х)⁶ - 4 · (-х)⁴ = 6х⁶ - 4х⁴
у(-х) = у(х) ⇒ функция четная. то есть симметрична относительно оси 0у.
3. Пересечение с осями координат.
1) х = 0; у = 0;
2) у = 0
4х⁶ - 6х⁴ = 0
2х⁴(2х² - 3) = 0
4.Функция непрерывна, асимптот нет.
5. Возрастание, убывание.
Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Определим знаки производной на промежутках.
Если плюс - функция возрастает, если минус - убывает.
y' = 4 · 6x⁵ - 6 · 4x³ = 24x³(x² - 1) = 24x³(x - 1)(x + 1)
x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = -1
-----[-1]+++++[0]-----[1]+++++
Функция возрастает на промежутках: [-1; 0]; [1; +∞)
Убывает на промежутках: (-∞; -1]; [0; 1]
Если производная меняет знак с плюса на минус - max;
с минуса на плюс - min.
х max = 0; y(0) = 0
x min = ± 1; y(± 1) = -2
6. Выпуклость, вогнутость:
Найдем производную второго порядка:
y'' = 24 · 5x⁴ - 24 · 3x² = 24x²(5x² - 3) = 24x² (√5·x-√3)(√5·x+√3)
Определим знак второй производной на промежутках.
Если плюс, функция вогнутая; минус - выпуклая.
+++++[-0,8]-----[0]-----[0,8]+++++
Вогнута на промежутках: (-∞; -0,8]; [0,8; +∞)
Выпукла: [-0,8; 0,8]
х = ± 0,8 - точки перегиба
у (± 0,8) ≈ -1,4
Строим график.
![](https://st.uroker.com/files/f0c/f0c5cc887c4331ec2b57f91cb8704510.png)