Question

Построить график функции y= 4x^6-6x^4
Очень подробно, даю 80 баллов

Answer 1

Ответ:

1.х ∈ R

2. функция четная

3. х = 0; у = 0

у = 0; х = 0; ±1,2

4. Функция непрерывна, асимптот нет

5. Функция возрастает на промежутках: [-1; 0]; [1; +∞)

Убывает на промежутках: (-∞; -1]; [0; 1]

х max = 0; x min = ± 1

6. Вогнута на промежутках: (-∞; -0,8]; [0,8; +∞)

Выпукла: [-0,8; 0,8]

х = ± 0,8 - точки перегиба

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию и построить график у = 4х⁶-6х⁴.

1. х ∈ R

2.Четность, нечетность.

Если у(-х) = у(х) - функция четная;

если у(-х) = -у(х) - функция нечетная.

у(-х) = 6 · (-х)⁶ - 4 · (-х)⁴ = 6х⁶ - 4х⁴

у(-х) = у(х) ⇒ функция четная. то есть симметрична относительно оси 0у.

3. Пересечение с осями координат.

1) х = 0; у = 0;

2) у = 0

4х⁶ - 6х⁴ = 0

2х⁴(2х² - 3) = 0

$\displaystyle 2x^4(\sqrt{2}x-\sqrt{3})(\sqrt{2}x+\sqrt{3})=0\\ \\ x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=\sqrt{\frac{3}{2} } \approx 1,2;\;\;\;\;\;x_3\approx -1,2$

4.Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Возрастание, убывание.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Определим знаки производной на промежутках.

Если плюс - функция возрастает, если минус - убывает.

y' = 4 · 6x⁵ - 6 · 4x³ = 24x³(x² - 1) = 24x³(x - 1)(x + 1)

x₁ = 0;   x₂ = 1;     x₃ = -1

-----[-1]+++++[0]-----[1]+++++

Функция возрастает на промежутках: [-1; 0]; [1; +∞)

Убывает на промежутках: (-∞; -1]; [0; 1]

Если производная меняет знак с плюса на минус - max;

с минуса на плюс - min.

х max = 0; y(0) = 0

x min = ± 1;   y(± 1) = -2

6. Выпуклость, вогнутость:

Найдем производную второго порядка:

y'' = 24 · 5x⁴ - 24 · 3x² = 24x²(5x² - 3) = 24x² (√5·x-√3)(√5·x+√3)

$\displaystyle x=0;\;\;\;\;\;x=\pm\sqrt{\frac{3}{5} } \approx 0,8$

Определим знак второй производной на промежутках.

Если плюс, функция вогнутая; минус - выпуклая.

+++++[-0,8]-----[0]-----[0,8]+++++

Вогнута на промежутках: (-∞; -0,8]; [0,8; +∞)

Выпукла: [-0,8; 0,8]

х = ± 0,8 - точки перегиба

у (± 0,8) ≈ -1,4

Строим график.