Question

Число 30 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на другое было наибольшим

Answer 1

Ответ: 30=20+10.

Пошаговое объяснение:

Пусть x и y - данные неотрицательные слагаемые. По сути, требуется найти максимум функции z(x,y)=x²*y при условии x+y=30. Таким образом, задача сводится к нахождению условного максимума функции z.  Из уравнения связи x+y=30 находим y=30-x. Подставляя это выражение в выражение для z, получаем z=x²*(30-x)=30*x²-x³. Находим производную: dz/dx=60*x-3*x²=3*x*(20-x). Приравнивая её к 0, находим две критические точки: x1=0 и x2=20. При переходе через точку x=0 производная меняет знак с - на +, поэтому данная точка является точкой минимума. При переходе через точку x=20 производная меняет знак с + на -, поэтому данная точка является точкой максимума. Из уравнения связи при x=20 находим y=30-20=10.