В окружность вписан равнобедренный треугольник. Центр окружности симметричен вершине треугольника относительно его стороны. Найдите углы треугольника.
Ответы
Ответ:
120°, 30°, 30°
Объяснение:
Смотрите рисунок.
Проведем дополнительный радиус OA, обозначен красным.
Треугольник Δ AOC равнобедренный, так как OA = OC = R.
OM = MC = R/2
AM - одновременно медиана, биссектриса и высота Δ AOC.
В прямоугольном Δ AOM катет OM = 1/2*AO.
Катет, равный половине гипотенузы, находится напротив ∠ 30°.
Значит, ∠ OAM = 30°, а ∠ AOM = 60°.
Так как AM - биссектриса угла ∠ OAC, то ∠ OAC = 2*30° = 60°.
Значит, треугольник OAC - не только равнобедренный, но т равносторонний.
AC = AO = OC = R
Угол ∠ ACM = 60°,
Угол ∠ ACB = 2*60° = 120°.
Угол ∠ ABC = ∠ BAC = 30°
Всё!
Ответ:
Углы треугольника АВС равны: ∠А = ∠В = 30°; ∠АВС = 120°.
Объяснение:
Найти углы треугольника.
Дано: Окр.(О, ОА)
ΔАВС - вписанный.
О симметрична В относительно АС.
Найти: углы треугольника
Решение:
1.
- Точка симметрична другой точке относительно прямой, если данная прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна к этому отрезку.
⇒ ОК = КВ; ОВ ⊥ АС.
- Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам.
⇒ АК = КС
2. Рассмотрим ΔАВС.
ВК - высота, медиана (п.1)
- Если в треугольнике высота является медианой, то этот треугольник равнобедренный.
⇒ АВ = ВС.
3. Рассмотрим ΔКВС и ΔОКС - прямоугольные.
ОК = КВ (условие)
КС - общая.
⇒ ΔКВС = ΔОКС (по двум катетам)
ОС = ВС (как соответственные элементы)
4. Рассмотрим ΔОВС.
ОС = ВС = АО = R
⇒ ΔОВС - равносторонний.
- В равностороннем треугольнике градусная мера углов равна 60°.
⇒ ∠ВОС = ∠ОВС = ∠ОСВ = 60°
5. Найдем углы ΔАВС.
- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой.
⇒ ВК - биссектриса ∠АВС;
∠АВК = ∠КВС = 60° ⇒ ∠АВС = 60° · 2 = 120°
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
⇒ ∠А = ∠С = (180° - ∠АВС) : 2 = (180° - 120°) : 2 = 30°
Углы треугольника АВС равны: ∠А = ∠В = 30°; ∠АВС = 120°.
