Question

Основание четырехугольной пирамиды SABCD – параллелограмм ABCD. На ребрах SB и SD соответственно взяты точки M и P так, что BS=3BM, SD=3SP. Через эти точки проведена плоскость, параллельная AC. Постройте сечение пирамиды этой плоскостью и определите в каком отношении оно делит ребро SC.

Answer 1

Ответ:

SE : EC = 4 : 5

Пошаговое объяснение:

Построение сечения:

1. Проведем отрезок МР. Так как МР и SН лежат в одной плоскости (BSD), то они пересекаются в точке О.
2. Через точку О в плоскости (ASC) проведем прямую, параллельную АС. Она пересечет ребро SA в точке F и ребро SC в точке Е.
3. Соединим точки Р и М с точками F и Е.
4. Сечение PFME проходит через точки Р и М и параллельно АС, так как в нем лежит прямая FE, параллельная АС, значит

• PFME - искомое сечение.

Пусть К - точка пересечения прямых РМ и BD.

Для треугольника BSD и секущей РК применим теорему Менелая:

$\dfrac{DP}{PS}\cdot \dfrac{SM}{MB}\cdot \dfrac{BK}{KD}=1$

По условию BS = 3BM, значит ВМ - одна часть, а BS - 3 таких части.

SM = BS - BM, то есть SM - 2 таких части. Тогда

$\dfrac{SM}{MB}=\dfrac{2}{1}$

Аналогично,

$\dfrac{DP}{PS}=\dfrac{2}{1}$

Подставляем эти отношения:

$\dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{BK}{KD}=1$

$\dfrac{BK}{KD}=\dfrac{1}{4}$   ⇒      $BK=\dfrac{1}{4}KD$

Выразим HK как часть KD:

$BD=\dfrac{3}{4}KD$   ,   $BH=HD=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{3}{8}KD$

$HK=BK+BH=\dfrac{1}{4}KD+\dfrac{3}{8}KD=\dfrac{5}{8}KD$

Теперь для треугольника DSH и секущей РК применим теорему Менелая:

$\dfrac{DP}{PS}\cdot \dfrac{SO}{OH}\cdot \dfrac{HK}{KD}=1$

$\dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{SO}{OH}\cdot \dfrac{\frac{5}{8}KD}{KD}=1$

$\dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{SO}{OH}\cdot \dfrac{5}{8}=1$

$\dfrac{SO}{OH}\cdot \dfrac{5}{4}=1$

$\dfrac{SO}{OH}=\dfrac{4}{5}$

Так как ОЕ║АС, то по обобщенной теореме Флеса

$\boldsymbol{\dfrac{SE}{EC}=\dfrac{4}{5}}$