Question

cos12x-cos6x-2cos7x*cos5x,если cosх= -корень из 3/3.СРОЧНО НАДО НА СЕГОДНЯ!

Answer 1

Формула произведения косинусов:

$\cos\alpha \cos\beta =\dfrac{1}{2} \left(\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right)$

Формула суммы косинусов:

$\cos\alpha+ \cos\beta =2\cos\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cos\dfrac{\alpha-\beta }{2}$

Преобразуем:

$\cos12x-\cos6x-2\cos7x\cos5x=$

$=\cos12x-\cos6x-2\cdot\dfrac{1}{2}\left( \cos(7x+5x)+\cos(7x-5x)\right)=$

$=\cos12x-\cos6x-\cos12x-\cos2x=-\cos6x-\cos2x=$

$=-(\cos6x+\cos2x)=-2\cos\dfrac{6x+2x}{2} \cos\dfrac{6x-2x}{2} =-2\cos4x \cos2x=$

$=-2(2\cos^22x-1) \cos2x=-2(2(2\cos^2x-1)^2-1) (2\cos^2x-1)$

Подставим известное значение косинуса $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3} }{3}$:

$-2\cdot\left(2\cdot\left(2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3} }{3}\right)^2 -1\right)^2-1\right)\cdot \left(2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3} }{3}\right)^2-1\right)=$

$=-2\cdot\left(2\cdot\left(2\cdot\dfrac{1}{3} -1\right)^2-1\right)\cdot \left(2\cdot\dfrac{1}{3}-1\right)=$

$=-2\cdot\left(2\cdot\left(\dfrac{2}{3} -1\right)^2-1\right)\cdot \left(\dfrac{2}{3}-1\right)=-2\cdot\left(2\cdot\left(-\dfrac{1}{3} \right)^2-1\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)=$

$=\dfrac{2}{3}\cdot\left(2\cdot\dfrac{1}{9} -1\right)=\dfrac{2}{3}\cdot\left(\dfrac{2}{9} -1\right)=\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{7}{9} \right)=-\dfrac{14}{27}$

Ответ: -14/27