Question

Число 6^7-1 является составным. Почему?

Answer 1

1. Можно рассуждать следующим образом:

Число, оканчивающееся на 6, в любой натуральной степени дает число, оканчивающееся на 6 (так как $6\cdot6=36$).

Значит, число $6^7$ оканчивается на 6. Тогда, число $6^7-1$ оканчивается на 5.

По признаку делимости на 5, получаем, что если число оканчивается на 5, то оно делится на 5.

Таким образом мы нашли еще один делитель этого числа, помимо его само и единицы. Значит, это число составное.

2. Можно воспользоваться формулой разности n-ых степеней:

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+b^{n-1})$

Получим следующую запись:

$6^7-1=6^7-1^n=(6-1)\cdot(6^6+6^5+\ldots+1)=5\cdot(6^6+6^5+\ldots+1)$

Нам удалось в явном виде показать некоторые два множителя этого числа, отличные от 1 и от его самого. Значит, это число составное.