Question

найдите общее решение дифференциального уровненная с помощью разделения переменных

Answer 1

dy/dx=x+yx

dy/dx=x(y+1)

∫dy/(y+1)=∫xdx

ln|y+1|+С1=x^2/2+С2

x^2=2ln|y+1|+С

x^2=ln(y+1)^2+С

x^2=lnC3(y+1)^2

x=√(lnC3(y+1)^2)

Answer 2

Ответ:

Общий интеграл дифференциального уравнения:

$\boxed{\ln |y + 1| - \dfrac{x^{2}}{2} = C}$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}$

$\boxed{\displaystyle \int \frac{1}{x} \ dx = \ln|x| + C}$

Объяснение:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = x + yx$обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = x(1 + y) \bigg| \cdot \frac{dx}{(1 + y)}$ - домножим на данное выражение, чтобы разделить переменные (пропорция)

$\dfrac{dy}{y + 1} = x \ dx$

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{y + 1} = \int x \ dx$ - интегрируем обе части так как они содержат одинаковые переменные и соотвествующие дифференциалы

$\displaystyle \int \dfrac{d(y + 1)}{y + 1} = \int x \ dx$ - вносим выражение $y + 1$ под дифференицал

(от внесения константы под дифференциал ничего не меняется, так как производная от константы равна нулю)

$\ln |y + 1| + C_{1} = \dfrac{x^{2}}{2} + C_{2}$ - результат интегрирования

$\ln |y + 1| - \dfrac{x^{2}}{2} = C_{2} - C_{1}$

$\boxed{\ln |y + 1| - \dfrac{x^{2}}{2} = C}$ - общий интеграл