Question

опуклий многокутник має 54 діагоналі , знайдіть кількість його сторін і суму кутів

Answer 1

Ответ:
12 сторон;
1800°.
Объяснение:
Пусть в выпуклом многоугольнике n вершин.
Из каждой вершины выходит (n - 3) диагонали, т.к. с собой и двумя соседними вершинами диагональ не образуется.
Умножим n вершин на число выходящих из каждой вершины диагоналей, их получится n(n - 3).
При таком способе подсчёта каждая диагональ учтена два раза (например, АС и СА), поэтому в выпуклом многоугольнике всего
n(n-3)/2 различных диагонали.
2. По условию
n(n-3)/2 = 54
n² - 3n = 108
n² - 3n - 108 = 0
D = 9 + 432 = 441
n1 = (3+21)/2 = 12;
n2 = (3-21)/2 < 0, не удовлетворяет условию.
Итак, в данном многоугольнике 12 сторон.
3. Сумму внутренних углов выпуклого многоугольника можно найти по формуле 180°•(n-2).
В нашем случае
180°•(12-2) = 1800°.
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, по теореме равна 360°.