Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном $n$ необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при $n = 1$ или при каком либо другом конкретном натуральном $p$ (в этом случае утверждение будет доказно от $p$ и для всех последующих натуральных чисел).

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для $n = k$ и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для $n = k + 1$

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных $n$ методом математической индукции.

22.22

Воспользуемся методом математической индукции:

$\displaystyle \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}; n \geq 2; n \in \mathbb N$

База индукции:

$n = 2;$

$\displaystyle \frac{1}{2 + 1} + \frac{1}{2 + 2} \lor \frac{13}{24}$

а) $\displaystyle \frac{1}{2 + 1} + \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$

$\dfrac{7}{12} \lor \dfrac{13}{24} \bigg | \cdot 24$

$2 \cdot 7 \lor 13$

$14 > 13 \Longrightarrow \boxed{ \displaystyle \frac{1}{2 + 1} + \frac{1}{2 + 2} > \frac{13}{24}}$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$\boxed{\displaystyle \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}}$ - пусть верно

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$\displaystyle \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2(k + 1)} > \frac{13}{24}$

Так как по предположению индукции $\displaystyle \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}$ - верно, то при прибавки положительного числа $\dfrac{1}{2(k + 1)}$ (так как $k \in \mathbb N$) неравенстов также будет выполнятся.

Утверждение для $n = k + 1$ верно, тогда методом математической индукции доказано, что $\boxed{\displaystyle \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}}$ при $n \geq 2$ и $n \in \mathbb N$.

22.23

Воспользуемся методом математической индукции:

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2n - 1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n + 1} }; n \in \mathbb N$

База индукции:

$n = 1;$

$\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 \cdot 1 + 1} }$

$\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 + 1} }$

$\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{4} }$

$\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ - верно

Индуктивный переход:

$\boxed{\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2k - 1}{2k} \leq \frac{1}{\sqrt{3k + 1} }}$ - пусть верно

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$\displaystyle \underbrace{ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2k - 1}{2k}}_{\leq \dfrac{1}{\sqrt{3k + 1} } } \cdot \frac{2(k + 1) - 1}{2(k + 1)} \leq \frac{1}{\sqrt{3(k + 1) + 1} }$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3k + 1} } \cdot \frac{2(k + 1) - 1}{2(k + 1)} \leq \frac{1}{\sqrt{3(k + 1) + 1} }$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3k + 1} } \cdot \frac{2k + 2 - 1}{2k + 2} \leq \frac{1}{\sqrt{3k + 3 + 1} }$

$\displaystyle \frac{2k + 1}{(2k + 2)\sqrt{3k + 1} } \leq \frac{1}{\sqrt{3k + 4} }$

$\displaystyle \frac{2k + 1}{2k + 2} \leq \sqrt{\frac{3k + 1}{3k + 4} }$

$\displaystyle \bigg( \frac{2k + 1}{2k + 2} \bigg)^{2} \leq \bigg( \sqrt{\frac{3k + 1}{3k + 4} } \bigg)^{2}$

$\displaystyle \frac{3k + 1}{3k + 4} - \frac{4k^{2} + 4k + 1}{4k^{2} + 8k + 4} \geq 0$

$\displaystyle \frac{(3k + 1)(4k^{2} + 8k + 4) - (4k^{2} + 4k + 1)(3k + 4)}{(3k + 4)(4k^{2} + 8k + 4)} \geq 0$

Так как $k \in \mathbb N$, то знаменатель дроби всегда больше нуля. Проебразуем числитель:

1) $(3k + 1)(4k^{2} + 8k + 4) = 12k^{3} + 24k^{2} + 12k + 4k^{2} + 8k + 4 = 12k^{3} + 28k^{2} + 20k +4$

2)

$(3k + 4)(4k^{2} + 4k + 1) = 12k^{3} + 12k + 3k + 16k^{2} + 16k + 4 = 12k^{3} + 16k^{2} + 31k + 4$

3)

$(3k + 1)(4k^{2} + 8k + 4) - (4k^{2} + 4k + 1)(3k + 4) =$

$= ( 12k^{3} + 28k^{2} + 20k +4) - (12k^{3} + 16k^{2} + 31k + 4) =$

$= 12k^{3} + 28k^{2} + 20k +4 - 12k^{3} - 16k^{2} - 31k - 4 = 12k^{2} - 11k = k(12k - 11)$

$k(12k - 11) > 0$

$12k > 11|:12$

$k > \dfrac{11}{12}$

То есть неравенство выполняется при $k \in \mathbb N$

Утверждение для $n = k + 1$ верно, тогда методом математической индукции доказано, что $\boxed{\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2n - 1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n + 1} }}$ при $n \in \mathbb N$.