Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{a_{2010} = 1}$

Примечание:

$1 < \sqrt{2} < 2$

$1^{2} < (\sqrt{2})^{2} < 2^{2}$

$1 < 2 < 4$

Объяснение:

Последовательность $a_{n}$ задана рекурентно:

$a_{1} = 4; a_{n + 1} = [\sqrt{a_{n}} ]$

Рассмотрим несколько первых элементов последовательности:

$n = 1; a_{1 + 1} = a_{2} = [\sqrt{a_{1}} ] = [\sqrt{4} ] = [2] =2$

$n = 2; a_{1 + 2} = a_{3} = [\sqrt{a_{2}} ] = [\sqrt{2} ] \approx [1,41] = 1$

$n = 3; a_{1 + 3} = a_{4} = [\sqrt{1} ] = [1 ] = 1$

$n = 4; a_{1 + 4} = a_{5} = [\sqrt{1} ] = [1 ] = 1$

Так как каждый раз в последующем в последовательность будет подставляться число 1, а корень из 1 равен 1 и соотвественно целая часть числа, тоже равна единице, то последовательность начиная с $a_{3}$ является стационарной с элементами равными 1, то есть $a_{2010} = 1$.