Question

Предложите лёгкий способ решения уравнения: $3x - 4x {}^{3} = \sqrt{1 - x {}^{2} }$
​

Answer 1

$x_{1} = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} , x_{2} = \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2} } }{2} , x_{3} = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

пошаговое обучение.

$3x - 4 {x}^{3} = \sqrt{1 - {x}^{2} }$

поменяем местами уровнение

$\sqrt{1 - {x}^{2} } = 3x - 4 {x}^{3}$

возьмём квадрат обе части уровнение

${ \sqrt{1 - {x}^{2} } }^{2} = (3x - 4 {x}^{ 3} {)}^{2}$

сокращаем степень корня и показатель

корня и показатель степени на 2

$1 - {x}^{2} = (3x - 4 {x}^{3} {)}^{2}$

используя

( а-b)²=a²-2ab+b²

запишим уравнение в развернутом виде

$1 - {x}^{2} = 9 {x}^{2} - 24 {x}^{4} + 16 {x}^{6}$

Переносим неизвестные в левую часть прибавлением к обеим частям противоположных к ним

$1 - x ^ 2 - 9x ^ 2 + 24x ^ 4 - 16x ^ 6 = 9x ^ 2 - 24x ^ 4 + 16x ^ 6 - 9x ^ 2 + 24x ^ 4 - 16x ^ 6$

сумма двух противоположных чисел равна 0

$1 - x ^ 2 - 9x ^ 2 + 24x ^ 4 - 16x ^ 6 = 0$

берём -х²-9х²

ели отрицательное

член не имеет коэффициента, то коэффициент считается равным -1

$- 1 {x}^{2} - 9 {x}^{2}$

Сгруппируем подобные члены, вычислив сумму или разность их коэффициентов

$( - 1 - 9) {x}^{2}$

вычесляем разность

$- 10 {x}^{2}$

так мы нашли -10х²

значит мы должны привести подобные члены

$1 - 10 {x}^{2} + 24 {x}^{4} - 16 {x}^{6} = 0$

запишим 24 х⁴ в виде суммы

$1 - 10x ^ 2 + 8x ^ 4 + 16x ^ 4 - 16x ^ 6 = 0$

запишем 10х² виде

разности

$1 - 8x ^ 2 - 2x ^ 2 + 8x ^ 4 + 16x ^ 4 - 16x ^ 6 = 0$

выносим общий за общий множетель -8х⁴

$1 - 8 {x}^{2} - 2 {x}^{2} - 8 {x}^{4} \times (2 {x}^{2} - 1) + 16 {x}^{4} = 0$

вынесим за скобки общий множетель

8х²

$1 + 8 {x}^{2} \times (2 {x}^{2} - 1) - 2 {x}^{2} - 8 {x}^{4} \times( 2x - 1) = 0$

вынесим знак минус да скобки

$- (2x ^ 2 - 1) + 8x ^ 2 * (2x ^ 2 - 1) - 8x ^ 4 * (2x ^ 2 - 1) = 0$

вынесим за скобки общий множетель-(2х²-1)

$- (2x ^ 2 - 1) * (8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1) = 0$

умножим обе части уровнение

на -1

$- 1 \times (- (2x ^ 2 - 1)) \times (8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1) = - 1 * 0$

Произведение четного количества отрицательных сомножителей положительно

$1(2x ^ 2 - 1)(8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1) = - 1 * 0$

любое выражение множитель на 1

не изменяется

$(2x ^ 2 - 1)(8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1) = - 1 * 0$

Любое выражение, умноженное на 0, равно 0

$(2x ^ 2 - 1) \times (8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1) = 0$

Если произведение равно 0, то как минимум один из множителей равен 0

$2x ^ 2 - 1 = 0 \\ </p><p>8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1 = 0$

$2x ^ 2 - 1 = 0$

Переносим постоянную в правую часть и сменить ее знак

$2 {x}^{2} = 1$

разделяем обе стороны уравнения на 2

$x ^ 2 = \frac{1}{2}$

мы должны извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения, помня об использовании положительных и отрицательных корней

$x= + \frac{ \sqrt{2} }{2}$

поставь место (+ -±)

Запишим решения: одно со знаком + и одно со знаком -

$x = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

решаем уровнение относительно х

$8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1 = 0$

решаем тоже относительно х

$8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1 = 0$

Преобразуем биквадратное уравнение в квадратное уравнение путем подстановки t вместо х²

$8t ^ 2 - 8t + 1 = 0$

теперь решаем относительно t

$t = \frac{2 + \sqrt{2} }{4} \\ t = \frac{2 - \sqrt{2} }{4}$

сделаем обратную замену

t=х²

${x}^{2} = \frac{2 + \sqrt{2} }{4} \\ {x}^{2} = \frac{2 - \sqrt{2} }{ 4}$

решаем относится х

$x = - \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} \\ x = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} \\ {x}^{2} = \frac{2 - \sqrt{2} }{4}$

тоже решение относительно х

$x = - \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2}$

$x = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2}$

$x = - \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2} } }{2}$

$x = \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2} } }{2}$

Проверяем, является ли данное значение решением уравнения

$3 \times ( - \frac{ \sqrt{2} }{2} ) - 4 \times ( - \frac{ \sqrt{2} }{2} {)}^{3} = \sqrt{1 - ( \frac{ \sqrt{2} }{2} } {)}^{2} \\ x = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x = - \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} \\ x = \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2} } }{2}$

продолжение на фотографии!