Question

Доказать с помощью последовательности​

Answer 1

$a_1=3$

$a_2=5$

$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$

Док-ть  $a_n=2^n+1$

Доказательство.

1)     $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$

     $k_1=3;$       $k_2=-2$

2)   Составим квадратное характеристическое уравнение по формуле  $r^2=k_1r+k_2$      

=>              $r^2=3r-2$

                  $r^2-3r+2=0$  

                 $D=9-4*1*2=9-8=1=1^2$

                $r_1=\frac{3-1}{2} =1$

                $r_2=\frac{3+1}{2} =2$

3)  Общий член последовательности имеет вид $a_n=C_1r_1^{n-1} +C_2r_2^{n-1}$.

$a_n=C_1*1^{n-1} +C_2*2^{n-1}$

$a_n=C_1 +C_2*2^{n-1}$  -   формула общего члена данной  последовательности

4) Применим эту формулу для  $a_1=3$  и  $a_2=5$ , чтобы найти  $C_1$ и  $C_2$

$\left \{ {{a_1=C_1+C_2*2^{1-1} } \atop {a_2=C_1+C_2*2^{2-1} }} \right. = > \left \{ {{3=C_1+C_2*2^{0} } \atop {5=C_1+C_2*2^{1} }} \right. = > \left \{ {{C_1+C_2*1=3 } \atop {C_1+C_2*2=5 }} \right.= > \left \{ {{C_1+C_2=3 } \atop {C_1+2C_2=5 }} \right.= >$

=>  $\left \{ {{C_1=1} \atop {C_2=2}} \right.$

5)  Подставим $C_1=1$  и  $C_2=2$  в формулу   $a_n=C_1 +C_2*2^{n-1}$

$a_n=1 +2*2^{n-1}$

$a_n=1 +2^{1+n-1}$

$a_n=1 +2^{n}$

$a_n=2^{n}+1$    Доказано.