Question

В основании прямого параллелепипеда лежит ромб с диагоналями 16 и 30 . Найди длину бокового ребра параллелепипеда, если сумма площадей всех его граней равна 1092 .

Answer 1

Ответ:

Длина бокового  ребра параллелепипеда равна 9 ед.

Объяснение:

Требуется найти длину бокового ребра параллелепипеда.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямой параллелепипед;

ABCD - основание, ромб;

AC = 30; ВD = 16 - диагонали ромба.

Sпп = 1092.

Найти: АА₁

Решение:

• Площадь полной поверхности пирамиды складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания.

ABCD - ромб.

Площадь ромба равна

$\displaystyle \boxed { S=\frac{1}{2}d_1\cdot{d_2} }$ , где d₁ и d₂ - диагонали ромба.

$\displaystyle S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot{AC}\cdot{BD}=\frac{1}{2}\cdot30\cdot16=240$

⇒ Площадь двух оснований равна 240 · 2 = 480 (ед.²)

Sпп = 1092

⇒ Sбок = 1092 - 480 = 612 (ед.²)

2. Найдем сторону ромба,

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

⇒ АО = ОС = 30 : 2 = 15 (ед.)

    BO = OD = 16 : 2 = 8 (ед.)

Рассмотрим ΔАОВ - прямоугольный.

По  теореме Пифагора:

АВ² = ОВ² + ОА² = 64 + 225 = 289

АВ = √289 = 17 (ед.)

3. Площадь боковой поверхности равна:

$\displaystyle \boxed {Sbok=P\;_{OCH}\cdot{h}}$ , где Росн. - периметр основания, h - высота.

Росн. = 17 · 4 = 68 (ед.)

Sбок. = Pосн. · h

612 = 68 · h

h = 612 : 68 = 9

AA₁ = h = 9 (ед.)

Длина бокового  ребра параллелепипеда равна 9 ед.