1.Искусственный спутник находится на высоте 1000 км. Каков период его обращения, если радиус земли 6400
км, а ее масса 6*1024 кг.
2.Определить массу Юпитера, если расстояние от него до иo 420 км, период обращения которого 42,5 часа.
Расстояние от Луны до Земли 384 км, период обращения 27,3 дня.
Ответы
Ответ: 1) Период обращения спутника 1 час 45 минут 20,6 секунды.
2) Масса Юпитера, примерно, в 311,3 раза больше массы Земли.
Объяснение: 1) Дано:
Высота орбиты спутника над Землей h = 1000 км = 10^6 м
Радиус Земли Rз = 6400 км = 6,4*10^6 м
Масса Земли Мз = 6*10^24 кг
Гравитационная постоянная G = 6,674*10^-11 м³/кг*с²
Найти период обращения спутника Т - ?
На высоте полета спутника ускорение свободного падения, создаваемое Землей, равно: gh = G*Мз/(Rз + h)². Это ускорение является центростремительным для спутника. С другой стороны центростремительное ускорение для спутника на этой орбите будет равно: а = U²/(Rз + h). Здесь U – орбитальная скорость спутника. Поскольку ускорение свободного падения на высоте полета спутника является для спутника центростремительным ускорением, то можно записать, что gh = а. Тогда можно записать уравнение: G*Мз/(Rз+h)² = U²/(Rз + h)
или G*Мз/(Rз + h) = U² ---------------------- (1)
Но, орбитальная скорость спутника будет также равна:
U = 2π(Rз + h)/Т. Возведя в квадрат это значение скорости и подставив его в выражение (1) имеем: G*Мз/(Rз + h) = 4π²(Rз + h)²/Т².
Отсюда Т² = 4π²(Rз + h)²/{G*Мз/(Rз + h)} = 4π²(Rз + h)³/G*Мз.
Тогда Т = √{4π²(Rз + h)³/G*Мз}.
Подставив числовые значения параметров, имеем:
Т = √{4π²(6,4*10^6 + 10^6)³/6,674*10^-11 *6*10^24} = 6320,6 с =
= 1 час 45 минут 20,6 секунды.
2) Вначале следует заметить, что фактические радиусы орбит Ио и Луны в 1000 раз больше указанных в условии. Но, если в решении принять радиусы орбит равные указанным, то это не приведет к изменению результата решения. В конце решения это будет показано. Вначале проведем расчеты, приняв фактические радиусы орбит.
Дано:
Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток
Радиус орбиты Луны а1 = 384 000 км = 3,84*10^5 км
Период обращения Ио T2 = 42,5 часа = 42,5/24 = 1,77 суток
Радиус орбиты Ио а2 = 420000 км = 4,2*10^5 км
Масса Земли - Мз = М1
Масса Юпитера – Мю = М2
Найти во сколько раз масса Юпитера больше массы Земли М2/М1 = Мю/Мз - ?
Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них, и имеет вид:
Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³, здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел; а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.
Так как обычно массы спутников малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что М2/М1 = Т1²* а2³/Т2²*а1³.
Т.е. Мю/Мз = 27,3² * (4,2*10^5)³/ 1,77 ² * (3,84*10^5)³ ≈ 311,3.
А теперь найдем отношение масс приняв радиусы орбит: а1 = 384 км; а2 = 420 км.
Тогда Мю/Мз = 27,3² * 420³/ 1,77 ² * 384³ ≈ 311,3
Как видим, ответ такой же, как и в первом случае. Такое возможно потому, что радиусы орбит разнесены в формуле в числитель и знаменатель, а так же потому, что заданные в условии радиусы орбит отличаются от реальных в одно и тоже число раз. Но, в общем случае, не рекомендуется применять при решении неверные те или иные параметры.