Question

Помогите решить уравнение

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{-cosx > 0} \atop {sinx > 0}} \right.$

$\frac{\pi }{2}+2\pi m < x < \pi +2\pi m , m\in Z$

$log_{9}sinx=log_{3^2}sinx=\frac{1}{2}log_{3}sinx$

$log_{9}2=log_{3^2}2=\frac{1}{2}log_{3}2$

$\frac{1}{4}= \frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{4}\cdot log_{3}3$

Уравнение :

$log_{3}(-cosx)+\frac{1}{4}\cdot log_{3}3=\frac{1}{2}log_{3}sinx+\frac{1}{4}\cdot log_{3}3$

Умножаем на 4

$4log_{3}(-cosx)+ log_{3}3=2log_{3}sinx+ log_{3}3$

Применяем свойства логарифмов:

$log_{3}3\cdot (-cosx)^4=log_{3}3\cdot sin^2x$

$3\cdot (-cosx)^4=3\cdot sin^2x$

$(-cosx)^4=sin^2x$

$cos^4x=1-cos^2x$

Замена

$cos^2x=t$

$t\geq 0$

$t^2+t-1=0$

D=5

$t_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$      или   $t_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$t_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$  не удовлетворяет требованию   $t\geq 0$

Обратно:

  $cos^2x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$cosx=-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$     или   $cosx=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

$x=\pm arccos(-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}})+2\pi k, k \in Z$     или   $x=\pm arccos \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}+2\pi k, k \in Z$

ОДЗ удовлетворяют корни:

$x= arccos(-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}})+2\pi k, k \in Z\\\\x=\pi - arccos \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}+2\pi k, k \in Z$

О т в е т. $\pi - arccos \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}+2\pi k, k \in Z$