Question

Не очень сложное задание. Есть варианты ответов

В равнобедренном треугольнике вершина, противоположная основе, удалена от точки пересечения медиан на 50/3, а от точки пересечения срединных перпендикуляров – на 17. Вычислите площадь треугольника.

Answer 1

Ответ:

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины, противоположной основанию, является и медианой, и биссектрисой, и серединным перпендикуляром.

Медиана делится точкой пересечения в отношении 2:1 начиная от вершины.

Значит 50/3=2x, а остальная часть медианы x.

$\frac{50}{3} = 2x \\ x = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$

Значит высота треугольника 50/3+25/3=75/3=25.

Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной окружности, то есть расстояние от вершины до точки пересечения серединных перпендикуляров равна радиусу описанной окружности.

R=17

Тогда расстояние от точки пересечения серединных перпендикуляров до основания:

25-17=8

Из точки пересечения серединных перпендикуляров проведем радиус к другой вершине треугольника и по теореме Пифагора найдем половину основания.

${17}^{2} = {8}^{2} + (\frac{a}{2})^{2} \\ 289 = 64 + \frac{ {a}^{2} }{4} \\ 289 - 64 = \frac{ {a}^{2} }{4} \\ \frac{ {a}^{2} }{4} = 225 \\ \frac{a}{2} = \sqrt{225} \\ \frac{a}{2} = 15$

Половина основания равна 15, а само основание a=15×2=30

Теперь найдем площадь:

$S = \frac{1}{2} ah$

$S = \frac{1}{2} \times 30 \times 25 = 15 \times 25 = 375$

Площадь равна 375